Номер 86, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 86, страница 47.

Условие.

86.- Сравните числа:

a) $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{9}$;

б) $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$;

в) $\text{tg} \frac{9\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{6\pi}{5}$;

г) $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для сравнения чисел $ \cos \frac{3\pi}{7} $ и $ \cos \frac{2\pi}{9} $ сначала сравним их аргументы (углы). Оба угла, $ \frac{3\pi}{7} $ и $ \frac{2\pi}{9} $, находятся в первой четверти, так как $ 0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $. Функция косинуса на промежутке $ [0, \pi] $ является убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Приведем дроби к общему знаменателю 63, чтобы сравнить углы: $ \frac{3\pi}{7} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{7 \cdot 9} = \frac{27\pi}{63} $. $ \frac{2\pi}{9} = \frac{2 \cdot 7 \pi}{9 \cdot 7} = \frac{14\pi}{63} $. Поскольку $ \frac{27\pi}{63} > \frac{14\pi}{63} $, то $ \frac{3\pi}{7} > \frac{2\pi}{9} $. Так как функция косинуса убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $ \cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{9} $.
Ответ: $ \cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{9} $.

б) Для сравнения чисел $ \sin \frac{5\pi}{7} $ и $ \sin \frac{7\pi}{8} $ определим расположение углов. Оба угла, $ \frac{5\pi}{7} $ и $ \frac{7\pi}{8} $, находятся во второй четверти (от $ \frac{\pi}{2} $ до $ \pi $). На этом промежутке функция синуса убывает, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение синуса. Сравним углы, приведя их к общему знаменателю 56: $ \frac{5\pi}{7} = \frac{5 \cdot 8 \pi}{7 \cdot 8} = \frac{40\pi}{56} $. $ \frac{7\pi}{8} = \frac{7 \cdot 7 \pi}{8 \cdot 7} = \frac{49\pi}{56} $. Поскольку $ \frac{40\pi}{56} < \frac{49\pi}{56} $, то $ \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8} $. Так как функция синуса убывает на этом промежутке, знак неравенства меняется на противоположный: $ \sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8} $.

в) Для сравнения $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} $ и $ \text{tg} \frac{6\pi}{5} $ воспользуемся периодичностью тангенса ($ \text{tg}(x+\pi) = \text{tg}(x) $). $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} = \text{tg}(\pi + \frac{2\pi}{7}) = \text{tg} \frac{2\pi}{7} $. $ \text{tg} \frac{6\pi}{5} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{5}) = \text{tg} \frac{\pi}{5} $. Теперь нужно сравнить $ \text{tg} \frac{2\pi}{7} $ и $ \text{tg} \frac{\pi}{5} $. Оба угла, $ \frac{2\pi}{7} $ и $ \frac{\pi}{5} $, находятся в первой четверти, где функция тангенса возрастает. Сравним эти углы, приведя к общему знаменателю 35: $ \frac{2\pi}{7} = \frac{10\pi}{35} $. $ \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{35} $. Поскольку $ \frac{10\pi}{35} > \frac{7\pi}{35} $, то $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{5} $. Так как функция тангенса возрастает, то $ \text{tg} \frac{2\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{5} $, следовательно, $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} > \text{tg} \frac{6\pi}{5} $.
Ответ: $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} > \text{tg} \frac{6\pi}{5} $.

г) Для сравнения чисел $ \sin \frac{4\pi}{9} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $ сначала сравним их аргументы. Оба угла, $ \frac{4\pi}{9} $ и $ \frac{3\pi}{8} $, находятся в первой четверти (от $ 0 $ до $ \frac{\pi}{2} $). На этом промежутке функция синуса является возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса. Сравним углы, приведя их к общему знаменателю 72: $ \frac{4\pi}{9} = \frac{4 \cdot 8 \pi}{9 \cdot 8} = \frac{32\pi}{72} $. $ \frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{8 \cdot 9} = \frac{27\pi}{72} $. Поскольку $ \frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72} $, то $ \frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8} $. Так как функция синуса возрастает на этом промежутке, знак неравенства сохраняется: $ \sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8} $.