Номер 86, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 86, страница 47.
№86 (с. 47)
Условие. №86 (с. 47)
скриншот условия

86.- Сравните числа:
a) $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{9}$;
б) $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$;
в) $\text{tg} \frac{9\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{6\pi}{5}$;
г) $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$.
Решение 1. №86 (с. 47)


Решение 3. №86 (с. 47)

Решение 4. №86 (с. 47)

Решение 5. №86 (с. 47)
а) Для сравнения чисел $ \cos \frac{3\pi}{7} $ и $ \cos \frac{2\pi}{9} $ сначала сравним их аргументы (углы). Оба угла, $ \frac{3\pi}{7} $ и $ \frac{2\pi}{9} $, находятся в первой четверти, так как $ 0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $. Функция косинуса на промежутке $ [0, \pi] $ является убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Приведем дроби к общему знаменателю 63, чтобы сравнить углы: $ \frac{3\pi}{7} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{7 \cdot 9} = \frac{27\pi}{63} $. $ \frac{2\pi}{9} = \frac{2 \cdot 7 \pi}{9 \cdot 7} = \frac{14\pi}{63} $. Поскольку $ \frac{27\pi}{63} > \frac{14\pi}{63} $, то $ \frac{3\pi}{7} > \frac{2\pi}{9} $. Так как функция косинуса убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $ \cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{9} $.
Ответ: $ \cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{9} $.
б) Для сравнения чисел $ \sin \frac{5\pi}{7} $ и $ \sin \frac{7\pi}{8} $ определим расположение углов. Оба угла, $ \frac{5\pi}{7} $ и $ \frac{7\pi}{8} $, находятся во второй четверти (от $ \frac{\pi}{2} $ до $ \pi $). На этом промежутке функция синуса убывает, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение синуса. Сравним углы, приведя их к общему знаменателю 56: $ \frac{5\pi}{7} = \frac{5 \cdot 8 \pi}{7 \cdot 8} = \frac{40\pi}{56} $. $ \frac{7\pi}{8} = \frac{7 \cdot 7 \pi}{8 \cdot 7} = \frac{49\pi}{56} $. Поскольку $ \frac{40\pi}{56} < \frac{49\pi}{56} $, то $ \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8} $. Так как функция синуса убывает на этом промежутке, знак неравенства меняется на противоположный: $ \sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8} $.
в) Для сравнения $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} $ и $ \text{tg} \frac{6\pi}{5} $ воспользуемся периодичностью тангенса ($ \text{tg}(x+\pi) = \text{tg}(x) $). $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} = \text{tg}(\pi + \frac{2\pi}{7}) = \text{tg} \frac{2\pi}{7} $. $ \text{tg} \frac{6\pi}{5} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{5}) = \text{tg} \frac{\pi}{5} $. Теперь нужно сравнить $ \text{tg} \frac{2\pi}{7} $ и $ \text{tg} \frac{\pi}{5} $. Оба угла, $ \frac{2\pi}{7} $ и $ \frac{\pi}{5} $, находятся в первой четверти, где функция тангенса возрастает. Сравним эти углы, приведя к общему знаменателю 35: $ \frac{2\pi}{7} = \frac{10\pi}{35} $. $ \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{35} $. Поскольку $ \frac{10\pi}{35} > \frac{7\pi}{35} $, то $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{5} $. Так как функция тангенса возрастает, то $ \text{tg} \frac{2\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{5} $, следовательно, $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} > \text{tg} \frac{6\pi}{5} $.
Ответ: $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} > \text{tg} \frac{6\pi}{5} $.
г) Для сравнения чисел $ \sin \frac{4\pi}{9} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $ сначала сравним их аргументы. Оба угла, $ \frac{4\pi}{9} $ и $ \frac{3\pi}{8} $, находятся в первой четверти (от $ 0 $ до $ \frac{\pi}{2} $). На этом промежутке функция синуса является возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса. Сравним углы, приведя их к общему знаменателю 72: $ \frac{4\pi}{9} = \frac{4 \cdot 8 \pi}{9 \cdot 8} = \frac{32\pi}{72} $. $ \frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{8 \cdot 9} = \frac{27\pi}{72} $. Поскольку $ \frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72} $, то $ \frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8} $. Так как функция синуса возрастает на этом промежутке, знак неравенства сохраняется: $ \sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 86 расположенного на странице 47 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №86 (с. 47), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.