Номер 89, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 89, страница 48.

Условие.

89.—

а) $y = \cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right);$

б) $y = 1-\sin \left( x-\frac{\pi}{3} \right);$

в) $y = \sin \left( x+\frac{\pi}{6} \right);$

г) $y = 2+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

График данной функции можно получить из графика основной тригонометрической функции $y = \cos(x)$ с помощью преобразования сдвига. Аргумент функции $x + \frac{\pi}{4}$ можно записать в виде $x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Это соответствует горизонтальному сдвигу (фазовому сдвигу) графика функции $y = \cos(x)$ влево вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция косинус определена для всех действительных чисел.
• Область значений: $E(y) = [-1, 1]$. Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений функции.
• Основной период: $T = 2\pi$. Сдвиг не изменяет период функции.

Ответ: График функции $y = \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем сдвига влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$.

б) $y = 1 - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \sin(x)$ с помощью последовательности преобразований. Функцию можно представить в виде $y = -\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + 1$.

Порядок преобразований для построения графика:

1. Построить график функции $y = \sin(x)$.
2. Сдвинуть его вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц, чтобы получить график $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
3. Отразить полученный график симметрично относительно оси $Ox$, чтобы получить график $y = -\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
4. Сдвинуть последний график вверх вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу, чтобы получить итоговый график $y = 1 - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Для $y=\sin(x)$ область значений — $[-1, 1]$. После отражения относительно оси $Ox$ она остается $[-1, 1]$. После сдвига вверх на 1, область значений становится $[-1+1, 1+1]$, то есть $E(y) = [0, 2]$.
• Основной период: $T = 2\pi$, так как ни одно из выполненных преобразований не влияет на период.

Ответ: График функции $y = 1 - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$, симметричного отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига вверх на 1 единицу.

в) $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

График этой функции получается из графика основной функции $y = \sin(x)$ с помощью горизонтального сдвига. Аргумент функции $x + \frac{\pi}{6}$ можно записать как $x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$. Это означает, что для получения искомого графика необходимо сдвинуть график $y = \sin(x)$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1, 1]$.
• Основной период: $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{6}$.

г) $y = 2 + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

График данной функции можно получить из графика основной функции $y = \cos(x)$ путем выполнения двух преобразований: горизонтального и вертикального сдвигов.

Порядок преобразований для построения графика:

1. Построить график функции $y = \cos(x)$.
2. Сдвинуть его вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц (из-за члена $x-\frac{\pi}{3}$), получив график $y = \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
3. Сдвинуть полученный график вверх вдоль оси $Oy$ на 2 единицы, получив итоговый график $y = 2 + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Исходная область значений для $y=\cos(x)$ — $[-1, 1]$. Горизонтальный сдвиг ее не меняет. Вертикальный сдвиг на 2 единицы вверх смещает область значений до $[-1+2, 1+2]$, то есть $E(y) = [1, 3]$.
• Основной период: $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y = 2 + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{3}$ и сдвига вверх на 2.