Номер 90, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 90, страница 48.

Условие.

90.— Расположите числа в порядке возрастания:

a) $cos \frac{25\pi}{9}$, $sin \frac{4\pi}{5}$, $cos \frac{4\pi}{9}$, $cos \left(-\frac{5\pi}{9}\right)$;

б) $tg \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$, $tg \frac{3\pi}{8}$, $ctg \frac{15\pi}{8}$, $tg \left(-\frac{7\pi}{16}\right)$;

в) $ctg \frac{9\pi}{10}$, $ctg \frac{12\pi}{5}$, $tg \frac{6\pi}{5}$, $ctg \frac{7\pi}{15}$;

г) $sin \left(-\frac{5\pi}{12}\right)$, $cos \frac{13\pi}{24}$, $sin \frac{5\pi}{24}$, $sin \frac{17\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Расположим в порядке возрастания числа $cos\frac{25\pi}{9}, sin\frac{4\pi}{5}, cos\frac{4\pi}{9}, cos(-\frac{5\pi}{9})$.

Для этого сначала упростим каждое выражение, приведя аргументы к промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$ и определив знак каждого числа.

1. $cos\frac{25\pi}{9} = cos(2\pi + \frac{7\pi}{9}) = cos\frac{7\pi}{9}$. Угол $\frac{7\pi}{9}$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Используя формулу приведения, $cos\frac{7\pi}{9} = cos(\pi - \frac{2\pi}{9}) = -cos\frac{2\pi}{9}$.

2. $sin\frac{4\pi}{5}$. Угол $\frac{4\pi}{5}$ находится во II четверти, где синус положителен. Используя формулу приведения, $sin\frac{4\pi}{5} = sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = sin\frac{\pi}{5}$.

3. $cos\frac{4\pi}{9}$. Угол $\frac{4\pi}{9}$ находится в I четверти, где косинус положителен.

4. $cos(-\frac{5\pi}{9})$. Так как косинус — четная функция, $cos(-\frac{5\pi}{9}) = cos\frac{5\pi}{9}$. Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. $cos\frac{5\pi}{9} = cos(\pi - \frac{4\pi}{9}) = -cos\frac{4\pi}{9}$.

Теперь нам нужно сравнить числа: $-cos\frac{2\pi}{9}$, $sin\frac{\pi}{5}$, $cos\frac{4\pi}{9}$, $-cos\frac{4\pi}{9}$.

Сравним отрицательные числа: $-cos\frac{2\pi}{9}$ и $-cos\frac{4\pi}{9}$. На промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y=cos(x)$ убывает. Поскольку $0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$, то $cos\frac{2\pi}{9} > cos\frac{4\pi}{9}$. Умножая на -1, меняем знак неравенства: $-cos\frac{2\pi}{9} < -cos\frac{4\pi}{9}$.

Сравним положительные числа: $sin\frac{\pi}{5}$ и $cos\frac{4\pi}{9}$. Приведем к одной функции: $cos\frac{4\pi}{9} = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{9}) = sin(\frac{9\pi - 8\pi}{18}) = sin\frac{\pi}{18}$. На промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y=sin(x)$ возрастает. Поскольку $0 < \frac{\pi}{18} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, то $sin\frac{\pi}{18} < sin\frac{\pi}{5}$, следовательно, $cos\frac{4\pi}{9} < sin\frac{4\pi}{5}$.

Отрицательные числа всегда меньше положительных. Таким образом, итоговый порядок: $-cos\frac{2\pi}{9} < -cos\frac{4\pi}{9} < cos\frac{4\pi}{9} < sin\frac{\pi}{5}$.

Заменяя на исходные выражения, получаем: $cos\frac{25\pi}{9} < cos(-\frac{5\pi}{9}) < cos\frac{4\pi}{9} < sin\frac{4\pi}{5}$.

Ответ: $cos\frac{25\pi}{9}, cos(-\frac{5\pi}{9}), cos\frac{4\pi}{9}, sin\frac{4\pi}{5}$.

б) Расположим в порядке возрастания числа $tg(-\frac{5\pi}{7}), tg\frac{3\pi}{8}, ctg\frac{15\pi}{8}, tg(-\frac{7\pi}{16})$.

Упростим каждое выражение:

1. $tg(-\frac{5\pi}{7}) = -tg\frac{5\pi}{7} = -tg(\pi-\frac{2\pi}{7}) = -(-tg\frac{2\pi}{7}) = tg\frac{2\pi}{7}$. Это положительное число.

2. $tg\frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ в I четверти, поэтому тангенс положителен.

3. $ctg\frac{15\pi}{8} = ctg(2\pi - \frac{\pi}{8}) = ctg(-\frac{\pi}{8}) = -ctg\frac{\pi}{8}$. Это отрицательное число.

4. $tg(-\frac{7\pi}{16}) = -tg\frac{7\pi}{16}$. Это отрицательное число.

Имеем два положительных числа ($tg\frac{2\pi}{7}$, $tg\frac{3\pi}{8}$) и два отрицательных ($-ctg\frac{\pi}{8}$, $-tg\frac{7\pi}{16}$).

Сравним отрицательные числа. Для этого сравним $ctg\frac{\pi}{8}$ и $tg\frac{7\pi}{16}$. Приведем к одной функции: $ctg\frac{\pi}{8} = tg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}) = tg\frac{3\pi}{8}$. Сравним $tg\frac{3\pi}{8}$ и $tg\frac{7\pi}{16}$. Аргументы $\frac{3\pi}{8} = \frac{6\pi}{16}$ и $\frac{7\pi}{16}$ находятся в I четверти, где тангенс возрастает. Так как $\frac{6\pi}{16} < \frac{7\pi}{16}$, то $tg\frac{3\pi}{8} < tg\frac{7\pi}{16}$. Значит $ctg\frac{\pi}{8} < tg\frac{7\pi}{16}$, и $-ctg\frac{\pi}{8} > -tg\frac{7\pi}{16}$. Следовательно, $tg(-\frac{7\pi}{16}) < ctg\frac{15\pi}{8}$.

Сравним положительные числа: $tg\frac{2\pi}{7}$ и $tg\frac{3\pi}{8}$. Сравним аргументы $\frac{2}{7}$ и $\frac{3}{8}$. $\frac{2}{7} = \frac{16}{56}$, $\frac{3}{8} = \frac{21}{56}$. Так как $\frac{16}{56} < \frac{21}{56}$, то $\frac{2\pi}{7} < \frac{3\pi}{8}$. Поскольку тангенс возрастает в I четверти, $tg\frac{2\pi}{7} < tg\frac{3\pi}{8}$.

Объединяя результаты, получаем: $tg(-\frac{7\pi}{16}) < ctg\frac{15\pi}{8} < tg(-\frac{5\pi}{7}) < tg\frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $tg(-\frac{7\pi}{16}), ctg\frac{15\pi}{8}, tg(-\frac{5\pi}{7}), tg\frac{3\pi}{8}$.

в) Расположим в порядке возрастания числа $ctg\frac{9\pi}{10}, ctg\frac{12\pi}{5}, tg\frac{6\pi}{5}, ctg\frac{7\pi}{15}$.

Упростим каждое выражение:

1. $ctg\frac{9\pi}{10} = ctg(\pi - \frac{\pi}{10}) = -ctg\frac{\pi}{10}$. Это отрицательное число.

2. $ctg\frac{12\pi}{5} = ctg(2\pi + \frac{2\pi}{5}) = ctg\frac{2\pi}{5}$. Это положительное число.

3. $tg\frac{6\pi}{5} = tg(\pi + \frac{\pi}{5}) = tg\frac{\pi}{5}$. Это положительное число.

4. $ctg\frac{7\pi}{15}$. Угол $\frac{7\pi}{15}$ в I четверти ($7/15 < 1/2$), поэтому это положительное число.

У нас одно отрицательное число, $-ctg\frac{\pi}{10}$, оно будет наименьшим.

Сравним три положительных числа: $ctg\frac{2\pi}{5}$, $tg\frac{\pi}{5}$, $ctg\frac{7\pi}{15}$. Приведем все к котангенсу: $tg\frac{\pi}{5} = ctg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = ctg\frac{3\pi}{10}$.

Теперь сравним $ctg\frac{2\pi}{5}$, $ctg\frac{3\pi}{10}$ и $ctg\frac{7\pi}{15}$. Для этого сравним их аргументы: $\frac{2\pi}{5}, \frac{3\pi}{10}, \frac{7\pi}{15}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{2}{5} = \frac{12}{30}$, $\frac{3}{10} = \frac{9}{30}$, $\frac{7}{15} = \frac{14}{30}$.

Получаем порядок аргументов: $\frac{9\pi}{30} < \frac{12\pi}{30} < \frac{14\pi}{30}$, то есть $\frac{3\pi}{10} < \frac{2\pi}{5} < \frac{7\pi}{15}$.

Функция $y=ctg(x)$ убывает на $(0, \frac{\pi}{2})$, поэтому для значений функции порядок будет обратным: $ctg\frac{3\pi}{10} > ctg\frac{2\pi}{5} > ctg\frac{7\pi}{15}$.

Возвращаясь к исходным выражениям, получаем: $tg\frac{6\pi}{5} > ctg\frac{12\pi}{5} > ctg\frac{7\pi}{15}$.

Таким образом, итоговый порядок возрастания: $ctg\frac{9\pi}{10} < ctg\frac{7\pi}{15} < ctg\frac{12\pi}{5} < tg\frac{6\pi}{5}$.

Ответ: $ctg\frac{9\pi}{10}, ctg\frac{7\pi}{15}, ctg\frac{12\pi}{5}, tg\frac{6\pi}{5}$.

г) Расположим в порядке возрастания числа $sin(-\frac{5\pi}{12}), cos\frac{13\pi}{24}, sin\frac{5\pi}{24}, sin\frac{17\pi}{6}$.

Упростим каждое выражение:

1. $sin(-\frac{5\pi}{12}) = -sin\frac{5\pi}{12}$. Это отрицательное число.

2. $cos\frac{13\pi}{24}$. Угол $\frac{13\pi}{24}$ во II четверти ($12\pi/24 < 13\pi/24 < 24\pi/24$), косинус отрицателен. $cos\frac{13\pi}{24} = cos(\pi - \frac{11\pi}{24}) = -cos\frac{11\pi}{24}$.

3. $sin\frac{5\pi}{24}$. Это положительное число.

4. $sin\frac{17\pi}{6} = sin(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = sin\frac{5\pi}{6} = sin(\pi-\frac{\pi}{6}) = sin\frac{\pi}{6}$. Это положительное число.

Имеем два отрицательных и два положительных числа.

Сравним отрицательные числа: $-sin\frac{5\pi}{12}$ и $-cos\frac{11\pi}{24}$. Сравним $sin\frac{5\pi}{12}$ и $cos\frac{11\pi}{24}$. Приведем к синусу: $cos\frac{11\pi}{24} = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{11\pi}{24}) = sin\frac{\pi}{24}$. Сравним $sin\frac{5\pi}{12}$ и $sin\frac{\pi}{24}$. $5\pi/12 = 10\pi/24$. На $(0, \frac{\pi}{2})$ синус возрастает. Так как $\frac{10\pi}{24} > \frac{\pi}{24}$, то $sin\frac{10\pi}{24} > sin\frac{\pi}{24}$, т.е. $sin\frac{5\pi}{12} > cos\frac{11\pi}{24}$. Умножив на -1, получаем $-sin\frac{5\pi}{12} < -cos\frac{11\pi}{24}$, то есть $sin(-\frac{5\pi}{12}) < cos\frac{13\pi}{24}$.

Сравним положительные числа: $sin\frac{5\pi}{24}$ и $sin\frac{\pi}{6}$. Сравним аргументы: $\frac{5\pi}{24}$ и $\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{24}$. Так как $\frac{5\pi}{24} > \frac{4\pi}{24}$, а синус возрастает на $(0, \frac{\pi}{2})$, то $sin\frac{5\pi}{24} > sin\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $sin\frac{5\pi}{24} > sin\frac{17\pi}{6}$.

Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $sin(-\frac{5\pi}{12}) < cos\frac{13\pi}{24} < sin\frac{17\pi}{6} < sin\frac{5\pi}{24}$.

Ответ: $sin(-\frac{5\pi}{12}), cos\frac{13\pi}{24}, sin\frac{17\pi}{6}, sin\frac{5\pi}{24}$.