Номер 95, страница 54 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 95, страница 54.

Условие.

Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (95—99).

95. а) $f(x) = 5 - 2x;$

б) $f(x) = 3 - 2x - x^2;$

в) $f(x) = 3x - 2;$

г) $f(x) = x^2 - 3x + 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) $f(x) = 5 - 2x$;

Проведем исследование функции по стандартной схеме.

1. Область определения. Функция является линейной, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. Проверим свойство четности: $f(-x) = 5 - 2(-x) = 5 + 2x$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ (при $x=0$): $f(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5$. Точка пересечения $(0, 5)$.

- С осью $Ox$ (при $f(x)=0$): $5 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. Точка пересечения $(2.5, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства.

- $f(x) > 0$ при $5 - 2x > 0 \Rightarrow x < 2.5$, то есть на интервале $(-\infty, 2.5)$.

- $f(x) < 0$ при $5 - 2x < 0 \Rightarrow x > 2.5$, то есть на интервале $(2.5, +\infty)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. Найдем первую производную: $f'(x) = (5-2x)' = -2$. Так как $f'(x) = -2 < 0$ для всех $x$, функция монотонно убывает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$. Точки экстремума отсутствуют.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $f''(x) = (-2)' = 0$. График функции не имеет выпуклости или вогнутости (является прямой линией). Точки перегиба отсутствуют.

7. Область значений. $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

8. Построение графика. График функции — это прямая линия, которая проходит через вычисленные точки пересечения с осями: $(0, 5)$ и $(2.5, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=5-2x$ — линейная, убывающая. Область определения $D(f)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(f)=(-\infty, +\infty)$. Пересекает оси координат в точках $(0, 5)$ и $(2.5, 0)$. Функция общего вида. Экстремумов и точек перегиба нет. График — прямая линия.

б) $f(x) = 3 - 2x - x^2$;

Проведем исследование функции. Это квадратичная функция $f(x) = -x^2 - 2x + 3$, ее график — парабола.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = 3 - 2(-x) - (-x)^2 = 3 + 2x - x^2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ ($x=0$): $f(0) = 3$. Точка $(0, 3)$.

- С осью $Ox$ ($f(x)=0$): $-x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Точки $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства. Ветви параболы направлены вниз ($a=-1 < 0$).

- $f(x) > 0$ на интервале между корнями: $(-3, 1)$.

- $f(x) < 0$ на интервалах $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

- Найдем производную: $f'(x) = (-x^2 - 2x + 3)' = -2x - 2$.

- Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow -2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$.

- При $x < -1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. При $x > -1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- $x=-1$ — точка максимума. Значение в точке максимума: $f(-1) = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4$. Вершина параболы: $(-1, 4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (-2x - 2)' = -2$. Так как $f''(x) < 0$ для всех $x$, график функции выпуклый вверх (вогнутый) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Область значений. Максимальное значение функции равно 4, значит $E(f) = (-\infty, 4]$.

8. Построение графика. График — парабола с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке $(-1, 4)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 3)$ и ось $Ox$ в точках $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=3-2x-x^2$ — квадратичная. Область определения $D(f)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(f)=(-\infty, 4]$. Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и убывает на $[-1, +\infty)$. Точка максимума $(-1, 4)$. График — парабола, вогнутая на всей области определения.

в) $f(x) = 3x - 2$;

Проведем исследование функции по стандартной схеме.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = 3(-x) - 2 = -3x - 2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ ($x=0$): $f(0) = -2$. Точка $(0, -2)$.

- С осью $Ox$ ($f(x)=0$): $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства.

- $f(x) > 0$ при $3x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$, то есть на $(\frac{2}{3}, +\infty)$.

- $f(x) < 0$ при $3x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3}$, то есть на $(-\infty, \frac{2}{3})$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = (3x-2)' = 3$. Так как $f'(x) = 3 > 0$ для всех $x$, функция монотонно возрастает на $(-\infty, +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (3)' = 0$. График функции — прямая линия. Точек перегиба нет.

7. Область значений. $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

8. Построение графика. График — прямая линия, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=3x-2$ — линейная, возрастающая. Область определения и область значений — все действительные числа. Пересекает оси в точках $(0, -2)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$. Функция общего вида. Экстремумов и точек перегиба нет. График — прямая линия.

г) $f(x) = x^2 - 3x + 2$.

Проведем исследование функции. Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) + 2 = x^2 + 3x + 2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ ($x=0$): $f(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.

- С осью $Ox$ ($f(x)=0$): $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = 2$. Точки $(1, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$).

- $f(x) > 0$ на интервалах $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

- $f(x) < 0$ на интервале $(1, 2)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

- Найдем производную: $f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

- Критическая точка: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

- При $x < 1.5$, $f'(x) < 0$, функция убывает. При $x > 1.5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- $x=1.5$ — точка минимума. Значение в точке минимума: $f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$. Вершина параболы: $(1.5, -0.25)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (2x - 3)' = 2$. Так как $f''(x) > 0$ для всех $x$, график функции выпуклый вниз (вогнутый) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Область значений. Минимальное значение функции равно -0.25, значит $E(f) = [-0.25, +\infty)$.

8. Построение графика. График — парабола с ветвями, направленными вверх, с вершиной в точке $(1.5, -0.25)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 2)$ и ось $Ox$ в точках $(1, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=x^2-3x+2$ — квадратичная. Область определения $D(f)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(f)=[-0.25, +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty, 1.5]$ и возрастает на $[1.5, +\infty)$. Точка минимума $(1.5, -0.25)$. График — парабола, выпуклая вниз на всей области определения.