Номер 88, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 88, страница 48.
№88 (с. 48)
Условие. №88 (с. 48)
скриншот условия

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции (88–89).
88.—
a) $y = \frac{1}{(x-2)^2} + 1$;
б) $y = 4 |x| - x^2$;
в) $y = \frac{1}{(x+1)^3} - 2$;
г) $y = x^2 - 2 |x|$.
Решение 1. №88 (с. 48)


Решение 3. №88 (с. 48)

Решение 5. №88 (с. 48)
Дана функция $y = \frac{1}{(x-2)^2} + 1$.
1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $(x-2)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. Найдем производную функции. Перепишем функцию в виде $y = (x-2)^{-2} + 1$.
$y' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = -2(x-2)^{-3} = \frac{-2}{(x-2)^3}$.
3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$. Уравнение $\frac{-2}{(x-2)^3} = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции. Однако, эта точка разбивает область определения на интервалы, на которых производная сохраняет свой знак.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
При $x < 2$, например, $x=0$, имеем $y'(0) = \frac{-2}{(0-2)^3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 2)$ функция возрастает.
При $x > 2$, например, $x=3$, имеем $y'(3) = \frac{-2}{(3-2)^3} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$. Следовательно, на интервале $(2; +\infty)$ функция убывает.
5. Точек экстремума у функции нет, так как точка $x=2$, в которой меняется знак производной, является точкой разрыва (вертикальная асимптота) и не принадлежит области определения функции.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$, убывает на промежутке $(2; +\infty)$; точек экстремума и экстремумов нет.
Дана функция $y = 4|x| - x^2$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
Если $x \ge 0$, то $|x|=x$ и $y = 4x - x^2$. Производная $y' = 4 - 2x$.
Если $x < 0$, то $|x|=-x$ и $y = -4x - x^2$. Производная $y' = -4 - 2x$.
В точке $x=0$ функция непрерывна, но производная не определена (угловая точка), так как правая производная $y'(0+) = 4$, а левая $y'(0-) = -4$.
3. Найдем критические точки. Точка $x=0$ является критической. Найдем другие точки, приравняв производные к нулю:
Для $x > 0$: $4 - 2x = 0 \implies x = 2$.
Для $x < 0$: $-4 - 2x = 0 \implies x = -2$.
Таким образом, критические точки: $x=-2, x=0, x=2$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.
На $(-\infty; -2)$: $y' = -4 - 2x$. Возьмем $x=-3$, $y'(-3) = -4 - 2(-3) = 2 > 0$. Функция возрастает.
На $(-2; 0)$: $y' = -4 - 2x$. Возьмем $x=-1$, $y'(-1) = -4 - 2(-1) = -2 < 0$. Функция убывает.
На $(0; 2)$: $y' = 4 - 2x$. Возьмем $x=1$, $y'(1) = 4 - 2(1) = 2 > 0$. Функция возрастает.
На $(2; +\infty)$: $y' = 4 - 2x$. Возьмем $x=3$, $y'(3) = 4 - 2(3) = -2 < 0$. Функция убывает.
5. Определим точки экстремума и экстремумы.
В точке $x=-2$ знак производной меняется с `+` на `-`, значит это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = 4|-2| - (-2)^2 = 8 - 4 = 4$.
В точке $x=0$ знак производной меняется с `-` на `+`, значит это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 4|0| - 0^2 = 0$.
В точке $x=2$ знак производной меняется с `+` на `-`, значит это точка максимума. $y_{max} = y(2) = 4|2| - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$; точки максимума $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 2$, максимум функции $y_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 0$, минимум функции $y_{min} = 0$.
Дана функция $y = \frac{1}{(x+1)^3} - 2$.
1. Область определения функции: $(x+1)^3 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
2. Найдем производную. Перепишем функцию: $y = (x+1)^{-3} - 2$.
$y' = -3(x+1)^{-4} \cdot (x+1)' = -3(x+1)^{-4} = \frac{-3}{(x+1)^4}$.
3. Найдем критические точки. Уравнение $y' = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения.
4. Определим знак производной. Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен для любого $x \neq -1$. Числитель равен $-3$ (отрицателен). Следовательно, производная $y'$ всегда отрицательна на всей области определения.
5. Так как производная $y' < 0$ на обоих интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$, функция является убывающей на всей своей области определения. Точек экстремума у функции нет.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; промежутков возрастания, точек экстремума и экстремумов нет.
Дана функция $y = x^2 - 2|x|$.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Раскроем модуль:
Если $x \ge 0$, то $y = x^2 - 2x$. Производная $y' = 2x - 2$.
Если $x < 0$, то $y = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Производная $y' = 2x + 2$.
В точке $x=0$ производная не определена (левая производная $y'(0-)=2$, правая $y'(0+)=-2$).
3. Найдем критические точки. $x=0$ — критическая точка. Другие точки найдем из условия $y'=0$:
Для $x > 0$: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
Для $x < 0$: $2x + 2 = 0 \implies x = -1$.
Критические точки: $x=-1, x=0, x=1$.
4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
На $(-\infty; -1)$: $y' = 2x + 2$. Возьмем $x=-2$, $y'(-2) = 2(-2)+2 = -2 < 0$. Функция убывает.
На $(-1; 0)$: $y' = 2x + 2$. Возьмем $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 2(-0.5)+2 = 1 > 0$. Функция возрастает.
На $(0; 1)$: $y' = 2x - 2$. Возьмем $x=0.5$, $y'(0.5) = 2(0.5)-2 = -1 < 0$. Функция убывает.
На $(1; +\infty)$: $y' = 2x - 2$. Возьмем $x=2$, $y'(2) = 2(2)-2 = 2 > 0$. Функция возрастает.
5. Определим точки экстремума и экстремумы.
В точке $x=-1$ знак производной меняется с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^2 - 2|-1| = 1 - 2 = -1$.
В точке $x=0$ знак производной меняется с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^2 - 2|0| = 0$.
В точке $x=1$ знак производной меняется с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^2 - 2|1| = 1 - 2 = -1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$, минимум функции $y_{min} = -1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 88 расположенного на странице 48 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №88 (с. 48), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.