Номер 88, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 88, страница 48.

Условие.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции (88–89).

88.—

a) $y = \frac{1}{(x-2)^2} + 1$;

б) $y = 4 |x| - x^2$;

в) $y = \frac{1}{(x+1)^3} - 2$;

г) $y = x^2 - 2 |x|$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана функция $y = \frac{1}{(x-2)^2} + 1$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $(x-2)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Перепишем функцию в виде $y = (x-2)^{-2} + 1$.

$y' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = -2(x-2)^{-3} = \frac{-2}{(x-2)^3}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $y' = 0$. Уравнение $\frac{-2}{(x-2)^3} = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции. Однако, эта точка разбивает область определения на интервалы, на которых производная сохраняет свой знак.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

При $x < 2$, например, $x=0$, имеем $y'(0) = \frac{-2}{(0-2)^3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 2)$ функция возрастает.

При $x > 2$, например, $x=3$, имеем $y'(3) = \frac{-2}{(3-2)^3} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$. Следовательно, на интервале $(2; +\infty)$ функция убывает.

5. Точек экстремума у функции нет, так как точка $x=2$, в которой меняется знак производной, является точкой разрыва (вертикальная асимптота) и не принадлежит области определения функции.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$, убывает на промежутке $(2; +\infty)$; точек экстремума и экстремумов нет.

---

б)

Дана функция $y = 4|x| - x^2$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Если $x \ge 0$, то $|x|=x$ и $y = 4x - x^2$. Производная $y' = 4 - 2x$.

Если $x < 0$, то $|x|=-x$ и $y = -4x - x^2$. Производная $y' = -4 - 2x$.

В точке $x=0$ функция непрерывна, но производная не определена (угловая точка), так как правая производная $y'(0+) = 4$, а левая $y'(0-) = -4$.

3. Найдем критические точки. Точка $x=0$ является критической. Найдем другие точки, приравняв производные к нулю:

Для $x > 0$: $4 - 2x = 0 \implies x = 2$.

Для $x < 0$: $-4 - 2x = 0 \implies x = -2$.

Таким образом, критические точки: $x=-2, x=0, x=2$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

На $(-\infty; -2)$: $y' = -4 - 2x$. Возьмем $x=-3$, $y'(-3) = -4 - 2(-3) = 2 > 0$. Функция возрастает.

На $(-2; 0)$: $y' = -4 - 2x$. Возьмем $x=-1$, $y'(-1) = -4 - 2(-1) = -2 < 0$. Функция убывает.

На $(0; 2)$: $y' = 4 - 2x$. Возьмем $x=1$, $y'(1) = 4 - 2(1) = 2 > 0$. Функция возрастает.

На $(2; +\infty)$: $y' = 4 - 2x$. Возьмем $x=3$, $y'(3) = 4 - 2(3) = -2 < 0$. Функция убывает.

5. Определим точки экстремума и экстремумы.

В точке $x=-2$ знак производной меняется с `+` на `-`, значит это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = 4|-2| - (-2)^2 = 8 - 4 = 4$.

В точке $x=0$ знак производной меняется с `-` на `+`, значит это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 4|0| - 0^2 = 0$.

В точке $x=2$ знак производной меняется с `+` на `-`, значит это точка максимума. $y_{max} = y(2) = 4|2| - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$; точки максимума $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 2$, максимум функции $y_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 0$, минимум функции $y_{min} = 0$.

---

в)

Дана функция $y = \frac{1}{(x+1)^3} - 2$.

1. Область определения функции: $(x+1)^3 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем производную. Перепишем функцию: $y = (x+1)^{-3} - 2$.

$y' = -3(x+1)^{-4} \cdot (x+1)' = -3(x+1)^{-4} = \frac{-3}{(x+1)^4}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $y' = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения.

4. Определим знак производной. Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен для любого $x \neq -1$. Числитель равен $-3$ (отрицателен). Следовательно, производная $y'$ всегда отрицательна на всей области определения.

5. Так как производная $y' < 0$ на обоих интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$, функция является убывающей на всей своей области определения. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$; промежутков возрастания, точек экстремума и экстремумов нет.

---

г)

Дана функция $y = x^2 - 2|x|$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскроем модуль:

Если $x \ge 0$, то $y = x^2 - 2x$. Производная $y' = 2x - 2$.

Если $x < 0$, то $y = x^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$. Производная $y' = 2x + 2$.

В точке $x=0$ производная не определена (левая производная $y'(0-)=2$, правая $y'(0+)=-2$).

3. Найдем критические точки. $x=0$ — критическая точка. Другие точки найдем из условия $y'=0$:

Для $x > 0$: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$.

Для $x < 0$: $2x + 2 = 0 \implies x = -1$.

Критические точки: $x=-1, x=0, x=1$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

На $(-\infty; -1)$: $y' = 2x + 2$. Возьмем $x=-2$, $y'(-2) = 2(-2)+2 = -2 < 0$. Функция убывает.

На $(-1; 0)$: $y' = 2x + 2$. Возьмем $x=-0.5$, $y'(-0.5) = 2(-0.5)+2 = 1 > 0$. Функция возрастает.

На $(0; 1)$: $y' = 2x - 2$. Возьмем $x=0.5$, $y'(0.5) = 2(0.5)-2 = -1 < 0$. Функция убывает.

На $(1; +\infty)$: $y' = 2x - 2$. Возьмем $x=2$, $y'(2) = 2(2)-2 = 2 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума и экстремумы.

В точке $x=-1$ знак производной меняется с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^2 - 2|-1| = 1 - 2 = -1$.

В точке $x=0$ знак производной меняется с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^2 - 2|0| = 0$.

В точке $x=1$ знак производной меняется с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^2 - 2|1| = 1 - 2 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$, минимум функции $y_{min} = -1$.