Номер 81, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 81, страница 47.

Условие.

81. Докажите, что функция $y = kx + b$:

a) возрастает на множестве $\mathbf{R}$ при $k > 0$;

б) убывает на множестве $\mathbf{R}$ при $k < 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) возрастает на множестве R при k > 0;

Чтобы доказать, что линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k > 0$, необходимо воспользоваться определением возрастающей функции.

Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из множества действительных чисел $\mathbb{R}$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Из этого неравенства следует, что разность $x_2 - x_1$ является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.

Теперь найдем значения функции $y(x) = kx + b$ в этих точках:
$y(x_1) = kx_1 + b$
$y(x_2) = kx_2 + b$

Рассмотрим разность значений функции $y(x_2) - y(x_1)$:
$y(x_2) - y(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$.

По условию $k > 0$. Мы также знаем, что $x_2 - x_1 > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно,
$k(x_2 - x_1) > 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_2) > y(x_1)$.
Поскольку для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ из условия $x_2 > x_1$ следует $y(x_2) > y(x_1)$, то функция $y = kx + b$ возрастает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k > 0$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) убывает на множестве R при k < 0.

Чтобы доказать, что линейная функция $y = kx + b$ является убывающей на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k < 0$, необходимо воспользоваться определением убывающей функции.

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Аналогично предыдущему пункту, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из множества $\mathbb{R}$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Отсюда следует, что $x_2 - x_1 > 0$.

Рассмотрим разность значений функции $y(x_2) - y(x_1)$, которая, как мы уже показали, равна:
$y(x_2) - y(x_1) = k(x_2 - x_1)$.

По условию $k < 0$. Мы также знаем, что $x_2 - x_1 > 0$. Произведение отрицательного числа на положительное всегда является отрицательным числом. Следовательно,
$k(x_2 - x_1) < 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_2) < y(x_1)$.
Поскольку для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ из условия $x_2 > x_1$ следует $y(x_2) < y(x_1)$, то функция $y = kx + b$ убывает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k < 0$.
Ответ: Утверждение доказано.