Номер 81, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 81, страница 47.
№81 (с. 47)
Условие. №81 (с. 47)
скриншот условия

81. Докажите, что функция $y = kx + b$:
a) возрастает на множестве $\mathbf{R}$ при $k > 0$;
б) убывает на множестве $\mathbf{R}$ при $k < 0$.
Решение 1. №81 (с. 47)

Решение 3. №81 (с. 47)

Решение 4. №81 (с. 47)

Решение 5. №81 (с. 47)
а) возрастает на множестве R при k > 0;
Чтобы доказать, что линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k > 0$, необходимо воспользоваться определением возрастающей функции.
Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.
Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из множества действительных чисел $\mathbb{R}$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Из этого неравенства следует, что разность $x_2 - x_1$ является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.
Теперь найдем значения функции $y(x) = kx + b$ в этих точках:
$y(x_1) = kx_1 + b$
$y(x_2) = kx_2 + b$
Рассмотрим разность значений функции $y(x_2) - y(x_1)$:
$y(x_2) - y(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$.
По условию $k > 0$. Мы также знаем, что $x_2 - x_1 > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно,
$k(x_2 - x_1) > 0$.
Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_2) > y(x_1)$.
Поскольку для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ из условия $x_2 > x_1$ следует $y(x_2) > y(x_1)$, то функция $y = kx + b$ возрастает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k > 0$.
Ответ: Утверждение доказано.
б) убывает на множестве R при k < 0.
Чтобы доказать, что линейная функция $y = kx + b$ является убывающей на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k < 0$, необходимо воспользоваться определением убывающей функции.
Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.
Аналогично предыдущему пункту, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из множества $\mathbb{R}$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Отсюда следует, что $x_2 - x_1 > 0$.
Рассмотрим разность значений функции $y(x_2) - y(x_1)$, которая, как мы уже показали, равна:
$y(x_2) - y(x_1) = k(x_2 - x_1)$.
По условию $k < 0$. Мы также знаем, что $x_2 - x_1 > 0$. Произведение отрицательного числа на положительное всегда является отрицательным числом. Следовательно,
$k(x_2 - x_1) < 0$.
Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_2) < y(x_1)$.
Поскольку для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ из условия $x_2 > x_1$ следует $y(x_2) < y(x_1)$, то функция $y = kx + b$ убывает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k < 0$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 81 расположенного на странице 47 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №81 (с. 47), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.