Номер 74, страница 40 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 74, страница 40.

Условие.

74.— Постройте график функции:

a) $y = 1 - \cos 1.5x;$

б) $y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right);$

в) $y = 2 + \sin \frac{x}{2};$

г) $y = \operatorname{tg} \left(2x - \frac{\pi}{6}\right).$

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = 1 - \cos 1,5x$

Для построения графика функции $y = 1 - \cos(1,5x)$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos x$. Функцию можно представить в виде $y = -\cos(1,5x) + 1$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, проходящая через точку $(0, 1)$.
• Шаг 2: Сжимаем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \cos(1,5x)$. Коэффициент $1,5$ при $x$ означает сжатие графика по горизонтали в $1,5$ раза. Период функции уменьшается и становится равным $T = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{4\pi}{3}$.
• Шаг 3: Отражаем график относительно оси Ox. Строим график $y_3 = -\cos(1,5x)$. Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение графика $y_2$ относительно оси абсцисс. Теперь график проходит через точку $(0, -1)$.
• Шаг 4: Сдвигаем график по оси Oy. Строим итоговый график $y = -\cos(1,5x) + 1$. Это сдвиг графика $y_3$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

Свойства и ключевые точки функции $y = 1 - \cos(1,5x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos(1,5x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(1,5x) \le 1$. Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получаем $0 \le 1 - \cos(1,5x) \le 2$. Таким образом, $E(y) = [0; 2]$.
• Период: $T = \frac{4\pi}{3}$.
• Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{4\pi}{3}]$:
  • при $x=0$, $y = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$. (Точка минимума)
  • при $x=\frac{2\pi}{3}$, $y = 1 - \cos(1,5 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. (Точка максимума)
  • при $x=\frac{4\pi}{3}$, $y = 1 - \cos(1,5 \cdot \frac{4\pi}{3}) = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. (Точка минимума)

Итоговый график — это косинусоида, которая колеблется относительно прямой $y=1$ с амплитудой 1, причем в точке $x=0$ у нее минимум.

Ответ: График функции $y=1-\cos(1,5x)$ получается из графика $y=\cos x$ путем сжатия по оси Ox в 1,5 раза, симметричного отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх по оси Oy. Период функции $T = \frac{4\pi}{3}$, область значений $E(y) = [0, 2]$.

б) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию, вынеся коэффициент при $x$ за скобки: $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Построение будем выполнять путем преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, проходящая через точку $(0, 0)$.
• Шаг 2: Сжимаем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \sin(2x)$. Коэффициент $2$ при $x$ означает сжатие графика по горизонтали в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Шаг 3: Сдвигаем график по оси Ox. Строим итоговый график $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Это сдвиг графика $y_2$ вправо по оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$ (фазовый сдвиг).

Свойства и ключевые точки функции $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T = \pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
• Ключевые точки на одном периоде. Период синусоиды начинается, когда ее аргумент равен 0, т.е. $2x - \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$. Период заканчивается при $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}$.
  • при $x=\frac{\pi}{6}$, $y = \sin(0) = 0$. (Начало периода, восходящий узел)
  • при $x=\frac{5\pi}{12}$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. (Максимум)
  • при $x=\frac{2\pi}{3}$, $y = \sin(\pi) = 0$. (Нисходящий узел)
  • при $x=\frac{11\pi}{12}$, $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. (Минимум)
  • при $x=\frac{7\pi}{6}$, $y = \sin(2\pi) = 0$. (Конец периода)

Ответ: График функции $y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$ получается из графика $y=\sin x$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и сдвига на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси Ox. Период функции $T = \pi$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

в) $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$. Функцию можно представить в виде $y = \sin(\frac{1}{2}x) + 2$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \sin x$.
• Шаг 2: Растягиваем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \sin(\frac{x}{2})$. Коэффициент $\frac{1}{2}$ при $x$ означает растяжение графика по горизонтали в 2 раза. Период функции увеличивается и становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
• Шаг 3: Сдвигаем график по оси Oy. Строим итоговый график $y = \sin(\frac{x}{2}) + 2$. Это сдвиг графика $y_2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Свойства и ключевые точки функции $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin(\frac{x}{2}) \le 1$, то прибавив 2, получим $1 \le 2 + \sin(\frac{x}{2}) \le 3$. Таким образом, $E(y) = [1; 3]$.
• Период: $T = 4\pi$.
• Ключевые точки на одном периоде $[0; 4\pi]$:
  • при $x=0$, $y = 2 + \sin(0) = 2$.
  • при $x=\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 + 1 = 3$. (Максимум)
  • при $x=2\pi$, $y = 2 + \sin(\pi) = 2$.
  • при $x=3\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 - 1 = 1$. (Минимум)
  • при $x=4\pi$, $y = 2 + \sin(2\pi) = 2$.

Итоговый график — это синусоида, растянутая по горизонтали и смещенная вверх, которая колеблется относительно прямой $y=2$ с амплитудой 1.

Ответ: График функции $y=2+\sin\frac{x}{2}$ получается из графика $y=\sin x$ путем растяжения по оси Ox в 2 раза и сдвига на 2 единицы вверх по оси Oy. Период функции $T = 4\pi$, область значений $E(y) = [1, 3]$.

г) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию: $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\right)$. Построение будем выполнять путем преобразования графика базовой функции $y = \text{tg} x$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \text{tg} x$. Это тангенсоида с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
• Шаг 2: Сжимаем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \text{tg}(2x)$. Коэффициент $2$ при $x$ означает сжатие графика по горизонтали в 2 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{2}$. Асимптоты находятся из условия $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.
• Шаг 3: Сдвигаем график по оси Ox. Строим итоговый график $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\right)$. Это сдвиг графика $y_2$ вправо по оси абсцисс на $\frac{\pi}{12}$.

Свойства и ключевые точки функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Вертикальные асимптоты: сдвигаем асимптоты $y_2$ на $\frac{\pi}{12}$ вправо: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{3\pi+\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{4\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $2x - \frac{\pi}{6} = k\pi \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это центры симметрии для каждой ветви тангенсоиды.
• Рассмотрим одну ветвь графика, например, при $k=0$. Нуль функции в точке $x = \frac{\pi}{12}$. Эта ветвь заключена между асимптотами $x = \frac{\pi}{3} + \frac{(-1)\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3} + \frac{0\cdot\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y=\text{tg}(2x-\frac{\pi}{6})$ получается из графика $y=\text{tg} x$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и сдвига на $\frac{\pi}{12}$ вправо по оси Ox. Период функции $T = \frac{\pi}{2}$, вертикальные асимптоты задаются формулой $x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.