Номер 71, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 71, страница 39.

Условие.

71. Докажите, что данная функция является четной или нечетной, и постройте ее график:

а) $y = \frac{1}{x^2}$;

б) $y = \frac{1}{x^3}$.

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = \frac{1}{x^2}$

1. Доказательство четности.
Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.
Область определения функции $y = \frac{1}{x^2}$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2}$
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

2. Построение графика.
Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Поэтому достаточно построить ветвь графика для $x > 0$ и затем симметрично отразить ее относительно оси OY.
Свойства функции и ключевые точки:

• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0$, $y \to +\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
• Значения функции: Так как $x^2 \ge 0$, то $y = \frac{1}{x^2} > 0$ для всех $x$ из области определения. График целиком лежит выше оси OX.
• Таблица значений для $x > 0$:

  $x$	1/2	1	2
  $y$	4	1	1/4

Описание графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и втором квадрантах. Ветви симметричны относительно оси OY. При приближении $x$ к нулю с любой стороны, $y$ стремится к $+\infty$. При стремлении $x$ к $\pm\infty$, $y$ стремится к нулю, приближаясь к оси OX.

Ответ: функция является четной.

б) $y = \frac{1}{x^3}$

1. Доказательство нечетности.
Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Область определения функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = \frac{1}{-x^3} = -\frac{1}{x^3}$
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

2. Построение графика.
Поскольку функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат O(0,0). Поэтому достаточно построить ветвь графика для $x > 0$ и затем симметрично отразить ее относительно начала координат.
Свойства функции и ключевые точки:

• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0+$, $y \to +\infty$. При $x \to 0-$, $y \to -\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
• Значения функции: Если $x > 0$, то $y > 0$ (первый квадрант). Если $x < 0$, то $y < 0$ (третий квадрант).
• Таблица значений для $x > 0$:

  $x$	1/2	1	2
  $y$	8	1	1/8

Описание графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем квадрантах, и он симметричен относительно начала координат. Ветвь в первом квадранте начинается от $+\infty$ вблизи оси OY и приближается к оси OX при $x \to +\infty$. Ветвь в третьем квадранте приближается к оси OX при $x \to -\infty$ и уходит на $-\infty$ вблизи оси OY.

Ответ: функция является нечетной.