Номер 72, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 72, страница 39.

Условие.

72. Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция $h$ четной или нечетной, если:

а) $h(x) = f(x) g^2(x)$, $f$ — четная функция, $g$ — нечетная;

б) $h(x) = f(x) - g(x)$, $f$ и $g$ — четные функции;

в) $h(x) = f(x) + g(x)$, $f$ и $g$ — нечетные функции;

г) $h(x) = f(x) g(x)$, $f$ и $g$ — нечетные функции?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы определить, является ли функция $h(x) = f(x)g^2(x)$ четной или нечетной, необходимо найти значение $h(-x)$.
По условию, $f$ — четная функция, следовательно, $f(-x) = f(x)$.
Функция $g$ — нечетная, следовательно, $g(-x) = -g(x)$.
Вычислим $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x)g^2(-x) = f(-x)(g(-x))^2$.
Подставим свойства функций $f$ и $g$:
$h(-x) = f(x)(-g(x))^2 = f(x)g^2(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является четной.
Ответ: четная.

б) Для функции $h(x) = f(x) - g(x)$, где $f$ и $g$ — четные функции, выполняются равенства $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - g(x) = h(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является четной.
Ответ: четная.

в) Для функции $h(x) = f(x) + g(x)$, где $f$ и $g$ — нечетные функции, выполняются равенства $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -h(x)$.
Так как $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечетной.
Ответ: нечетная.

г) Для функции $h(x) = f(x)g(x)$, где $f$ и $g$ — нечетные функции, выполняются равенства $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = h(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является четной.
Ответ: четная.