Номер 67, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 67, страница 39.

Условие.

67.— Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

а) $y = \sin 2x;$

б) $y = \cos \frac{x}{3};$

в) $y = \tan \frac{x}{2};$

г) $y = \sin 1,5x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) Для функции $y = \sin 2x$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $T_0 = 2\pi$ - основной период функции $y = \sin x$.
В данном случае коэффициент $k=2$, следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

График функции $y = \sin 2x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Амплитуда колебаний остается равной 1.
Найдем ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:
При $x=0$, $y=\sin(0)=0$.
При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$.
При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi)=0$.
При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.
При $x=\pi$, $y=\sin(2\pi)=0$.

Ответ: наименьший положительный период равен $\pi$.

---

б) Для функции $y = \cos \frac{x}{3}$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $T_0 = 2\pi$ - основной период функции $y = \cos x$.
В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{3}$, следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

График функции $y = \cos \frac{x}{3}$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Амплитуда колебаний остается равной 1.
Найдем ключевые точки на одном периоде $[0, 6\pi]$:
При $x=0$, $y=\cos(0)=1$.
При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y=\cos(\frac{3\pi/2}{3}) = \cos(\frac{\pi}{2})=0$.
При $x=3\pi$, $y=\cos(\frac{3\pi}{3}) = \cos(\pi)=-1$.
При $x=\frac{9\pi}{2}$, $y=\cos(\frac{9\pi/2}{3}) = \cos(\frac{3\pi}{2})=0$.
При $x=6\pi$, $y=\cos(\frac{6\pi}{3}) = \cos(2\pi)=1$.

Ответ: наименьший положительный период равен $6\pi$.

---

в) Для функции $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \operatorname{tg}(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$, где $T_0 = \pi$ - основной период функции $y = \operatorname{tg} x$.
В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{2}$, следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

График функции $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg} x$ путем растяжения по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Вертикальные асимптоты функции $y = \operatorname{tg} u$ находятся в точках $u = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для нашей функции $u = \frac{x}{2}$, поэтому асимптоты будут при $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \pi + 2\pi n = (2n+1)\pi$.
Рассмотрим одну ветвь на интервале $(-\pi, \pi)$. Ключевые точки:
При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y=\operatorname{tg}(\frac{-\pi/2}{2}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-1$.
При $x=0$, $y=\operatorname{tg}(0)=0$.
При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\operatorname{tg}(\frac{\pi/2}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})=1$.

Ответ: наименьший положительный период равен $2\pi$.

---

г) Для функции $y = \sin 1,5x$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Представим коэффициент $k=1,5$ в виде дроби: $k=\frac{3}{2}$. Тогда наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|3/2|} = \frac{4\pi}{3}$.

График функции $y = \sin 1,5x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 1,5 раза. Амплитуда колебаний остается равной 1.
Найдем ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{4\pi}{3}]$:
При $x=0$, $y=\sin(0)=0$.
При $x=\frac{\pi}{3}$, $y=\sin(1,5 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$.
При $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=\sin(1,5 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi)=0$.
При $x=\pi$, $y=\sin(1,5 \cdot \pi) = \sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.
При $x=\frac{4\pi}{3}$, $y=\sin(1,5 \cdot \frac{4\pi}{3}) = \sin(2\pi)=0$.

Ответ: наименьший положительный период равен $\frac{4\pi}{3}$.