Номер 61, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 61, страница 38.

Условие.

61.— На рисунке 37, а—г построен график функции $f$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0$ ($x \le 0$). Постройте график функции $f$, если известно:

1) $f$ — четная функция;

2) $f$ — нечетная функция.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо использовать определения четной и нечетной функций и их свойства симметрии.

В задаче дан график функции f для x ≥ 0 (или для x ≤ 0). Нам нужно достроить его для x < 0 (или для x > 0) в двух случаях.

1) f – четная функция;

Четная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для всех x из области определения. Главное графическое свойство такой функции — ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Чтобы достроить график, необходимо отразить уже имеющуюся его часть симметрично относительно оси Oy. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на известной части графика будет соответствовать точка $(-x_0, y_0)$ на недостающей части. Если график дан для x ≥ 0, его нужно отразить в левую полуплоскость. Если график дан для x ≤ 0, его отражают в правую полуплоскость.

Ответ: Для построения полного графика четной функции необходимо симметрично отразить заданную его часть относительно оси ординат Oy.

2) f – нечетная функция.

Нечетная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для всех x из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки (0, 0). Из определения следует, что если 0 принадлежит области определения, то $f(0) = -f(0)$, что равносильно $2f(0) = 0$, а значит $f(0) = 0$. Поэтому, если на заданном участке графика $f(0) \neq 0$, достроить его до графика нечетной функции невозможно. Если же условие $f(0) = 0$ выполнено, то для построения недостающей части графика нужно отразить имеющуюся часть симметрично относительно начала координат. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на известной части графика будет соответствовать точка $(-x_0, -y_0)$ на недостающей части. Это преобразование равносильно двум последовательным отражениям: относительно оси Ox и затем относительно оси Oy (или наоборот).

Ответ: Для построения полного графика нечетной функции необходимо симметрично отразить заданную его часть относительно начала координат. Это возможно только при условии, что $f(0) = 0$ (если функция определена в точке 0).