Номер 62, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 62, страница 38.

Условие.

62. — Докажите, что число $T$ является периодом функции $f$, если:

а) $f(x) = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} 3x, T = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = 3 \cos 4x, T = \frac{\pi}{2};$

г) $f(x) = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}, T = 3\pi.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что число $T$ является периодом функции $f(x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции $f(x) = \sin \frac{x}{2}$ и периода $T = 4\pi$ проверим это условие. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f(x+T) = f(x+4\pi) = \sin\frac{x+4\pi}{2} = \sin(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + 2\pi)$.
Поскольку функция синус имеет основной период $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$.
Следовательно, $\sin(\frac{x}{2} + 2\pi) = \sin\frac{x}{2} = f(x)$.
Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=4\pi$ является периодом функции.

б) Для функции $f(x) = 2 \tg 3x$ и периода $T = \frac{\pi}{3}$ проверим условие $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции задается условием $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{3}) = 2 \tg(3(x+\frac{\pi}{3})) = 2 \tg(3x + 3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \tg(3x + \pi)$.
Поскольку функция тангенс имеет основной период $\pi$, то $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения.
Следовательно, $2 \tg(3x + \pi) = 2 \tg 3x = f(x)$.
Равенство $f(x+\frac{\pi}{3}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{3}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=\frac{\pi}{3}$ является периодом функции.

в) Для функции $f(x) = 3 \cos 4x$ и периода $T = \frac{\pi}{2}$ проверим условие $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{2}) = 3 \cos(4(x+\frac{\pi}{2})) = 3 \cos(4x + 4 \cdot \frac{\pi}{2}) = 3 \cos(4x + 2\pi)$.
Поскольку функция косинус имеет основной период $2\pi$, то $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$.
Следовательно, $3 \cos(4x + 2\pi) = 3 \cos 4x = f(x)$.
Равенство $f(x+\frac{\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.

г) Для функции $f(x) = \ctg \frac{x}{3}$ и периода $T = 3\pi$ проверим условие $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции задается условием $\frac{x}{3} \neq \pi k$, где $k \in Z$.
$f(x+T) = f(x+3\pi) = \ctg(\frac{x+3\pi}{3}) = \ctg(\frac{x}{3} + \frac{3\pi}{3}) = \ctg(\frac{x}{3} + \pi)$.
Поскольку функция котангенс имеет основной период $\pi$, то $\ctg(\alpha + \pi) = \ctg(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения.
Следовательно, $\ctg(\frac{x}{3} + \pi) = \ctg \frac{x}{3} = f(x)$.
Равенство $f(x+3\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=3\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=3\pi$ является периодом функции.