Номер 57, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 57, страница 37.
№57 (с. 37)
Условие. №57 (с. 37)
скриншот условия

57.—
а) $f(x) = 3x^2 + x^4$;
б) $f(x) = x^5 \sin \frac{x}{2}$;
в) $f(x) = x^2 \cos x$;
г) $f(x) = 4x^6 - x^2$.
Решение 1. №57 (с. 37)

Решение 3. №57 (с. 37)

Решение 4. №57 (с. 37)

Решение 5. №57 (с. 37)
а) Для того чтобы исследовать функцию $f(x) = 3x^2 + x^4$ на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции). Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, является симметричной относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^4$
Поскольку возведение в четную степень отрицательного числа дает положительный результат, то есть $(-x)^{2n} = x^{2n}$, получаем:
$f(-x) = 3x^2 + x^4$
Сравним полученное выражение с исходной функцией:
$f(-x) = f(x)$
Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция является четной.
Ответ: функция четная.
б) Исследуем на четность функцию $f(x) = x^5 \sin \frac{x}{2}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^5 \sin\left(\frac{-x}{2}\right)$
Используем свойства степенной и тригонометрической функций:
1. Степенная функция с нечетным показателем является нечетной: $(-x)^5 = -x^5$.
2. Функция синус является нечетной: $\sin(-a) = -\sin(a)$. Следовательно, $\sin\left(\frac{-x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:
$f(-x) = (-x^5) \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = x^5 \sin\frac{x}{2}$
Сравниваем результат с исходной функцией:
$f(-x) = f(x)$
Функция является произведением двух нечетных функций ($g(x)=x^5$ и $h(x)=\sin\frac{x}{2}$), что делает ее четной. Таким образом, функция является четной.
Ответ: функция четная.
в) Исследуем на четность функцию $f(x) = x^2 \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)$
Используем свойства степенной и тригонометрической функций:
1. Степенная функция с четным показателем является четной: $(-x)^2 = x^2$.
2. Функция косинус является четной: $\cos(-x) = \cos(x)$.
Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:
$f(-x) = x^2 \cos x$
Сравниваем результат с исходной функцией:
$f(-x) = f(x)$
Функция является произведением двух четных функций ($g(x)=x^2$ и $h(x)=\cos x$), что делает ее четной. Таким образом, функция является четной.
Ответ: функция четная.
г) Исследуем на четность функцию $f(x) = 4x^6 - x^2$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2$
Поскольку показатели степеней 6 и 2 являются четными числами, имеем:
$(-x)^6 = x^6$
$(-x)^2 = x^2$
Подставляем в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = 4x^6 - x^2$
Сравниваем результат с исходной функцией:
$f(-x) = f(x)$
Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной.
Ответ: функция четная.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 57 расположенного на странице 37 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №57 (с. 37), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.