Номер 57, страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 57, страница 37.

Условие.

57.—

а) $f(x) = 3x^2 + x^4$;

б) $f(x) = x^5 \sin \frac{x}{2}$;

в) $f(x) = x^2 \cos x$;

г) $f(x) = 4x^6 - x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы исследовать функцию $f(x) = 3x^2 + x^4$ на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции). Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^4$

Поскольку возведение в четную степень отрицательного числа дает положительный результат, то есть $(-x)^{2n} = x^{2n}$, получаем:

$f(-x) = 3x^2 + x^4$

Сравним полученное выражение с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) Исследуем на четность функцию $f(x) = x^5 \sin \frac{x}{2}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \sin\left(\frac{-x}{2}\right)$

Используем свойства степенной и тригонометрической функций:

1. Степенная функция с нечетным показателем является нечетной: $(-x)^5 = -x^5$.

2. Функция синус является нечетной: $\sin(-a) = -\sin(a)$. Следовательно, $\sin\left(\frac{-x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x^5) \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = x^5 \sin\frac{x}{2}$

Сравниваем результат с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Функция является произведением двух нечетных функций ($g(x)=x^5$ и $h(x)=\sin\frac{x}{2}$), что делает ее четной. Таким образом, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) Исследуем на четность функцию $f(x) = x^2 \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)$

Используем свойства степенной и тригонометрической функций:

1. Степенная функция с четным показателем является четной: $(-x)^2 = x^2$.

2. Функция косинус является четной: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = x^2 \cos x$

Сравниваем результат с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Функция является произведением двух четных функций ($g(x)=x^2$ и $h(x)=\cos x$), что делает ее четной. Таким образом, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) Исследуем на четность функцию $f(x) = 4x^6 - x^2$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2$

Поскольку показатели степеней 6 и 2 являются четными числами, имеем:

$(-x)^6 = x^6$

$(-x)^2 = x^2$

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = 4x^6 - x^2$

Сравниваем результат с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной.

Ответ: функция четная.