Номер 53, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 53, страница 31.

Условие.

53.— Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sqrt{3x-2}}{x^2-x-2}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x^2-3x-2}}{16-x^2}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{3-2x}$;

г) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-2x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = \frac{\sqrt{3x-2}}{x^2 - x - 2}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю):

$3x - 2 \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - x - 2 \neq 0$

Решим первое неравенство:

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Теперь решим второе условие. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Значит, знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = -1$. Эти значения нужно исключить из области определения.

Объединяем оба условия: $x \ge \frac{2}{3}$ и при этом $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Условие $x \neq -1$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge \frac{2}{3}$.

Таким образом, область определения — это все числа из промежутка $[\frac{2}{3}; +\infty)$, за исключением числа 2.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 2}}{16 - x^2}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 2 \ge 0 \\ 16 - x^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 2 \ge 0$.

Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 2 \ge 0$ выполняется при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$.

То есть, $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

Решим второе условие: $16 - x^2 \neq 0$.

$(4-x)(4+x) \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Теперь нужно исключить точки $x=4$ и $x=-4$ из найденного множества.

Сравним $-4$ с корнем $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, то $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 - 4.12}{2} = -0.56$. Поскольку $-4 < -0.56$, точка $x=-4$ входит в промежуток $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}]$ и должна быть исключена.

Сравним $4$ с корнем $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$. $\frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 + 4.12}{2} = 3.56$. Поскольку $4 > 3.56$, точка $x=4$ входит в промежуток $[\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ и должна быть исключена.

Объединяя все условия, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; 4) \cup (4; +\infty)$.

в) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{3-2x}$

Область определения функции определяется условиями:

1. Подрадикальное выражение неотрицательно: $x+2 \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $3-2x \neq 0$.

Решаем первое условие:

$x \ge -2$

Решаем второе условие:

$2x \neq 3$

$x \neq \frac{3}{2}$ или $x \neq 1,5$.

Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен -2, но не равен 1,5.

Ответ: $x \in [-2; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

г) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-2x}$

Область определения функции определяется системой:

$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ 1 - 2x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4 - x^2 \ge 0$.

$(2-x)(2+x) \ge 0$.

Корни уравнения $4-x^2=0$ равны $x=-2$ и $x=2$. Ветви параболы $y=4-x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$-2 \le x \le 2$, что соответствует промежутку $[-2; 2]$.

Решим второе условие: $1 - 2x \neq 0$.

$2x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{2}$ или $x \neq 0,5$.

Теперь нужно объединить условия: $x \in [-2; 2]$ и $x \neq 0,5$.

Точка $x=0,5$ находится внутри отрезка $[-2; 2]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-2; 0,5) \cup (0,5; 2]$.