Номер 53, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 53, страница 31.
№53 (с. 31)
Условие. №53 (с. 31)
скриншот условия

53.— Найдите область определения функции:
а) $y = \frac{\sqrt{3x-2}}{x^2-x-2}$;
б) $y = \frac{\sqrt{x^2-3x-2}}{16-x^2}$;
в) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{3-2x}$;
г) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-2x}$.
Решение 1. №53 (с. 31)

Решение 3. №53 (с. 31)

Решение 4. №53 (с. 31)


Решение 5. №53 (с. 31)
а) $y = \frac{\sqrt{3x-2}}{x^2 - x - 2}$
Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю):
$3x - 2 \ge 0$
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^2 - x - 2 \neq 0$
Решим первое неравенство:
$3x \ge 2$
$x \ge \frac{2}{3}$
Теперь решим второе условие. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
Значит, знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = -1$. Эти значения нужно исключить из области определения.
Объединяем оба условия: $x \ge \frac{2}{3}$ и при этом $x \neq 2$ и $x \neq -1$.
Условие $x \neq -1$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge \frac{2}{3}$.
Таким образом, область определения — это все числа из промежутка $[\frac{2}{3}; +\infty)$, за исключением числа 2.
Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$.
б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 2}}{16 - x^2}$
Область определения функции задается системой неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 3x - 2 \ge 0 \\ 16 - x^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 2 \ge 0$.
Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$
Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 2 \ge 0$ выполняется при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$.
То есть, $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.
Решим второе условие: $16 - x^2 \neq 0$.
$(4-x)(4+x) \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Теперь нужно исключить точки $x=4$ и $x=-4$ из найденного множества.
Сравним $-4$ с корнем $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, то $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 - 4.12}{2} = -0.56$. Поскольку $-4 < -0.56$, точка $x=-4$ входит в промежуток $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}]$ и должна быть исключена.
Сравним $4$ с корнем $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$. $\frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 + 4.12}{2} = 3.56$. Поскольку $4 > 3.56$, точка $x=4$ входит в промежуток $[\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ и должна быть исключена.
Объединяя все условия, получаем область определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; 4) \cup (4; +\infty)$.
в) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{3-2x}$
Область определения функции определяется условиями:
1. Подрадикальное выражение неотрицательно: $x+2 \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $3-2x \neq 0$.
Решаем первое условие:
$x \ge -2$
Решаем второе условие:
$2x \neq 3$
$x \neq \frac{3}{2}$ или $x \neq 1,5$.
Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен -2, но не равен 1,5.
Ответ: $x \in [-2; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.
г) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-2x}$
Область определения функции определяется системой:
$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ 1 - 2x \neq 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $4 - x^2 \ge 0$.
$(2-x)(2+x) \ge 0$.
Корни уравнения $4-x^2=0$ равны $x=-2$ и $x=2$. Ветви параболы $y=4-x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$-2 \le x \le 2$, что соответствует промежутку $[-2; 2]$.
Решим второе условие: $1 - 2x \neq 0$.
$2x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{2}$ или $x \neq 0,5$.
Теперь нужно объединить условия: $x \in [-2; 2]$ и $x \neq 0,5$.
Точка $x=0,5$ находится внутри отрезка $[-2; 2]$, поэтому ее необходимо исключить.
Ответ: $x \in [-2; 0,5) \cup (0,5; 2]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 53 расположенного на странице 31 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №53 (с. 31), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.