Страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

53.— Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sqrt{3x-2}}{x^2-x-2}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x^2-3x-2}}{16-x^2}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{3-2x}$;

г) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-2x}$.

а) $y = \frac{\sqrt{3x-2}}{x^2 - x - 2}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю):

$3x - 2 \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - x - 2 \neq 0$

Решим первое неравенство:

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Теперь решим второе условие. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Значит, знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = -1$. Эти значения нужно исключить из области определения.

Объединяем оба условия: $x \ge \frac{2}{3}$ и при этом $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Условие $x \neq -1$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge \frac{2}{3}$.

Таким образом, область определения — это все числа из промежутка $[\frac{2}{3}; +\infty)$, за исключением числа 2.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 2}}{16 - x^2}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 2 \ge 0 \\ 16 - x^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 2 \ge 0$.

Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$, $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 2 \ge 0$ выполняется при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$.

То есть, $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

Решим второе условие: $16 - x^2 \neq 0$.

$(4-x)(4+x) \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Теперь нужно исключить точки $x=4$ и $x=-4$ из найденного множества.

Сравним $-4$ с корнем $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} \approx 4.12$, то $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 - 4.12}{2} = -0.56$. Поскольку $-4 < -0.56$, точка $x=-4$ входит в промежуток $(-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}]$ и должна быть исключена.

Сравним $4$ с корнем $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$. $\frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 + 4.12}{2} = 3.56$. Поскольку $4 > 3.56$, точка $x=4$ входит в промежуток $[\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ и должна быть исключена.

Объединяя все условия, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; 4) \cup (4; +\infty)$.

в) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{3-2x}$

Область определения функции определяется условиями:

1. Подрадикальное выражение неотрицательно: $x+2 \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $3-2x \neq 0$.

Решаем первое условие:

$x \ge -2$

Решаем второе условие:

$2x \neq 3$

$x \neq \frac{3}{2}$ или $x \neq 1,5$.

Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен -2, но не равен 1,5.

Ответ: $x \in [-2; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$.

г) $y = \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-2x}$

Область определения функции определяется системой:

$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ 1 - 2x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4 - x^2 \ge 0$.

$(2-x)(2+x) \ge 0$.

Корни уравнения $4-x^2=0$ равны $x=-2$ и $x=2$. Ветви параболы $y=4-x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.

$-2 \le x \le 2$, что соответствует промежутку $[-2; 2]$.

Решим второе условие: $1 - 2x \neq 0$.

$2x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{2}$ или $x \neq 0,5$.

Теперь нужно объединить условия: $x \in [-2; 2]$ и $x \neq 0,5$.

Точка $x=0,5$ находится внутри отрезка $[-2; 2]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-2; 0,5) \cup (0,5; 2]$.

54.— Найдите область определения и область значений функции:

a) $y = 1 + \sin^2 x$;
б) $y = \frac{x-1}{x}$;
в) $y = \sqrt{x^2 + 4}$;
г) $y = 1,5 - 0,5 \cos^2 x$.

а) $y = 1 + \sin^2 x$

Область определения D(y): Функция $\sin x$ определена для любого действительного числа $x$. Выражение $1 + \sin^2 x$ также определено для любого действительного $x$, так как операции возведения в квадрат и сложения определены для всех чисел. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(y): Для любого $x$ значение $\sin x$ находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. При возведении в квадрат получаем $0 \le \sin^2 x \le 1$. Далее, прибавляя 1 ко всем частям двойного неравенства, находим границы для $y$: $1 + 0 \le 1 + \sin^2 x \le 1 + 1$ $1 \le y \le 2$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[1; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [1; 2]$.

б) $y = \frac{x-1}{x}$

Область определения D(y): Данная функция является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \ne 0$. Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме 0. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений E(y): Чтобы найти область значений, преобразуем выражение: $y = \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$. Выражение $\frac{1}{x}$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля (так как дробь $\frac{1}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, что невозможно). Значит, $y$ может принимать любые значения, кроме $y = 1 - 0 = 1$. Другой способ: выразим $x$ через $y$. $y = \frac{x-1}{x} \implies yx = x-1 \implies yx - x = -1 \implies x(y-1) = -1 \implies x = \frac{-1}{y-1}$. Это выражение имеет смысл для всех $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y-1 \ne 0 \implies y \ne 1$. Следовательно, область значений функции — все действительные числа, кроме 1. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения D(y): Функция содержит квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Так как $4 > 0$, неравенство $x^2 + 4 \ge 0$ выполняется для всех $x$. Следовательно, область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(y): Как было показано выше, подкоренное выражение $x^2 + 4$ принимает значения не меньше 4. Минимальное значение $x^2 + 4$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 + 4 = 4$. Таким образом, $x^2 + 4 \ge 4$. Поскольку функция квадратного корня является возрастающей и значение корня по определению неотрицательно, то: $y = \sqrt{x^2 + 4} \ge \sqrt{4} = 2$. Следовательно, область значений функции — все числа, большие или равные 2. $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [2; +\infty)$.

г) $y = 1,5 - 0,5 \cos^2 x$

Область определения D(y): Функция $\cos x$ определена для любого действительного числа $x$. Операции возведения в квадрат, умножения и вычитания с константами не накладывают дополнительных ограничений. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(y): Для любого $x$ значение $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$. При возведении в квадрат получаем $0 \le \cos^2 x \le 1$. Умножим все части неравенства на $-0,5$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $1 \cdot (-0,5) \le -0,5 \cos^2 x \le 0 \cdot (-0,5)$ $-0,5 \le -0,5 \cos^2 x \le 0$. Теперь прибавим 1,5 ко всем частям неравенства: $1,5 - 0,5 \le 1,5 - 0,5 \cos^2 x \le 1,5 + 0$ $1 \le y \le 1,5$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[1; 1,5]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [1; 1,5]$.

Постройте графики функций (55–56).

55. а) $y = |x - 1|;$

б) $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \ge 2; \\ 2 - x, & \text{если } x < 2; \end{cases}$

в) $y = \sqrt{2x - 2};$

г) $y = \begin{cases} 3 - x^2, & \text{если } x > 1, \\ x - 2, & \text{если } x \le 1. \end{cases}$

а)

Для построения графика функции $y = |x - 1|$ необходимо раскрыть модуль. Определение модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

1. Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. На этом промежутке функция имеет вид $y = x - 1$. Это прямая линия. Найдем две точки, чтобы ее построить:
- При $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

2. Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 1 < 0$, что эквивалентно $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. На этом промежутке функция имеет вид $y = 1 - x$. Это также прямая линия.
- При $x = 0$, $y = 1 - 0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- При $x = -1$, $y = 1 - (-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Совмещая обе части на координатной плоскости, получаем график. Также можно заметить, что график функции $y = |x - 1|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для $x \ge 1$ это луч, совпадающий с прямой $y = x - 1$, а для $x < 1$ — это луч, совпадающий с прямой $y = 1 - x$.

б)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 2 - x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$. Ее график состоит из двух частей.

1. При $x \ge 2$ строим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $(0, -4)$. Мы строим только ту ее часть, которая соответствует условию $x \ge 2$.
- Найдем значение на границе: при $x = 2$, $y = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.
- Возьмем еще одну точку: при $x = 3$, $y = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3, 5)$.

2. При $x < 2$ строим график функции $y = 2 - x$. Это прямая линия.
- Найдем предел на границе: при $x \to 2^-$, $y \to 2 - 2 = 0$. График подходит к точке $(2, 0)$, но сама точка не включается (является выколотой для этой части).
- Возьмем еще одну точку: при $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Поскольку значение первой функции в точке $x=2$ равно $0$ и предел второй функции при $x \to 2$ также равен $0$, эти две части графика соединяются в точке $(2, 0)$. Таким образом, функция является непрерывной.

Ответ: График состоит из луча прямой $y = 2 - x$ на интервале $(-\infty, 2)$ и части параболы $y = x^2 - 4$ на полуинтервале $[2, +\infty)$. Точка их соединения — $(2, 0)$.

в)

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x - 2}$ сначала найдем ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2x - 2 \ge 0 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$. Таким образом, функция определена для всех $x \ge 1$.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:
- При $x = 1$, $y = \sqrt{2(1) - 2} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка графика — $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = \sqrt{2(3) - 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3, 2)$.
- При $x = 5.5$, $y = \sqrt{2(5.5) - 2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5.5, 3)$.

График этой функции — это ветвь параболы. Если возвести обе части уравнения в квадрат, получим $y^2 = 2x - 2$ (при условии $y \ge 0$). Выразив $x$, получим $x = \frac{1}{2}y^2 + 1$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вправо. Так как в исходной функции $y \ge 0$, мы берем только верхнюю ветвь этой параболы.

Ответ: График функции — это верхняя ветвь параболы $x = \frac{1}{2}y^2 + 1$, которая начинается в точке $(1, 0)$ и возрастает при увеличении $x$.

г)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} 3 - x^2, & \text{если } x > 1 \\ x - 2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$. Ее график состоит из двух частей.

1. При $x > 1$ строим график функции $y = 3 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 3)$. Нас интересует только часть графика при $x > 1$.
- Найдем предел на границе: при $x \to 1^+$, $y \to 3 - 1^2 = 2$. Точка $(1, 2)$ является граничной, но не принадлежит графику (изображается выколотой).
- Возьмем еще одну точку: при $x = 2$, $y = 3 - 2^2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

2. При $x \le 1$ строим график функции $y = x - 2$. Это прямая линия.
- Найдем значение на границе: при $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику (изображается закрашенной).
- Возьмем еще одну точку: при $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

В точке $x = 1$ значения функций не совпадают. Значение функции слева (и в самой точке) равно $-1$, а предел справа равен $2$. Это означает, что в точке $x = 1$ функция терпит разрыв.

Ответ: График состоит из двух несвязанных частей. На промежутке $(-\infty, 1]$ это луч прямой $y = x - 2$, заканчивающийся закрашенной точкой $(1, -1)$. На промежутке $(1, +\infty)$ это часть параболы $y = 3 - x^2$, которая начинается с выколотой точки $(1, 2)$ и идет вниз. Функция имеет разрыв в точке $x=1$.

56. a) $y = \sin 3x - 1$;

б) $y = \frac{1}{2} x^3 + 2$;

в) $y = 1 + \cos 2x$;

г) $y = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x}$.

а) Дана функция $y = \sin 3x - 1$. Для нахождения её производной $y'$, воспользуемся правилами дифференцирования.
1. Производная разности функций равна разности их производных: $y' = (\sin 3x - 1)' = (\sin 3x)' - (1)'$.
2. Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
3. Для нахождения производной $(\sin 3x)'$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Внешняя функция — это синус, а внутренняя — $3x$. Производная синуса — косинус, а производная $3x$ равна $3$. $(\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos 3x$.
4. Собираем все части вместе: $y' = 3\cos 3x - 0 = 3\cos 3x$.
Ответ: $y' = 3\cos 3x$.

б) Дана функция $y = \frac{1}{2}x^3 + 2$. Найдём её производную $y'$.
1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (\frac{1}{2}x^3 + 2)' = (\frac{1}{2}x^3)' + (2)'$.
2. Производная константы равна нулю: $(2)' = 0$.
3. Для нахождения производной $(\frac{1}{2}x^3)'$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. $(\frac{1}{2}x^3)' = \frac{1}{2} \cdot (x^3)' = \frac{1}{2} \cdot 3x^{3-1} = \frac{3}{2}x^2$.
4. Собираем все части вместе: $y' = \frac{3}{2}x^2 + 0 = \frac{3}{2}x^2$.
Ответ: $y' = \frac{3}{2}x^2$.

в) Дана функция $y = 1 + \cos 2x$. Найдём её производную $y'$.
1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (1 + \cos 2x)' = (1)' + (\cos 2x)'$.
2. Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
3. Для нахождения производной $(\cos 2x)'$ применим правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — косинус, внутренняя — $2x$. Производная косинуса — минус синус, а производная $2x$ равна $2$. $(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$.
4. Собираем все части вместе: $y' = 0 + (-2\sin 2x) = -2\sin 2x$.
Ответ: $y' = -2\sin 2x$.

г) Дана функция $y = 1 + \frac{1}{2}\sqrt{x}$. Найдём её производную $y'$.
1. Для удобства дифференцирования представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Тогда функция примет вид $y = 1 + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
2. Производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (1 + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})' = (1)' + (\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})'$.
3. Производная константы равна нулю: $(1)' = 0$.
4. Для нахождения производной $(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})'$ используем правило вынесения константы и формулу для производной степенной функции: $(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}}$.
5. Преобразуем результат обратно к виду с корнем: $x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Значит, $(\frac{1}{2}\sqrt{x})' = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.
6. Собираем все части вместе: $y' = 0 + \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.