Страница 28 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

40.— Найдите значения функции:

а) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ в точках $-1, \frac{1}{2}, 10$;

б) $f(x) = 3 \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ в точках $-\frac{\pi}{4}, 0, \pi$;

в) $f(x) = \sqrt{5x - x^2}$ в точках $0, 1, 2$;

г) $f(x) = 2 - \sin 2x$ в точках $-\frac{\pi}{4}, 0, \frac{5\pi}{12}$.

а) Для функции $f(x) = x + \frac{1}{x}$ найдем значения в точках $x = -1$, $x = \frac{1}{2}$ и $x = 10$.

1. При $x = -1$:

$f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

2. При $x = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + 2 = 2\frac{1}{2} = 2.5$.

3. При $x = 10$:

$f(10) = 10 + \frac{1}{10} = 10.1$.

Ответ: $f(-1) = -2$; $f(\frac{1}{2}) = 2.5$; $f(10) = 10.1$.

б) Для функции $f(x) = 3 \cos(x - \frac{\pi}{4})$ найдем значения в точках $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = 0$ и $x = \pi$.

1. При $x = -\frac{\pi}{4}$:

$f(-\frac{\pi}{4}) = 3 \cos(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(-\frac{2\pi}{4}) = 3 \cos(-\frac{\pi}{2})$.

Так как функция косинус четная ($\cos(-a) = \cos(a)$), то $3 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 3 \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot 0 = 0$.

2. При $x = 0$:

$f(0) = 3 \cos(0 - \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(-\frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

3. При $x = \pi$:

$f(\pi) = 3 \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $f(\pi) = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $f(-\frac{\pi}{4}) = 0$; $f(0) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$; $f(\pi) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

в) Для функции $f(x) = \sqrt{5x - x^2}$ найдем значения в точках $x = 0$, $x = 1$ и $x = 2$.

1. При $x = 0$:

$f(0) = \sqrt{5 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{0 - 0} = \sqrt{0} = 0$.

2. При $x = 1$:

$f(1) = \sqrt{5 \cdot 1 - 1^2} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$.

3. При $x = 2$:

$f(2) = \sqrt{5 \cdot 2 - 2^2} = \sqrt{10 - 4} = \sqrt{6}$.

Ответ: $f(0) = 0$; $f(1) = 2$; $f(2) = \sqrt{6}$.

г) Для функции $f(x) = 2 - \sin(2x)$ найдем значения в точках $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = 0$ и $x = \frac{5\pi}{12}$.

1. При $x = -\frac{\pi}{4}$:

$f(-\frac{\pi}{4}) = 2 - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = 2 - \sin(-\frac{\pi}{2})$.

Так как функция синус нечетная ($\sin(-a) = -\sin(a)$), то $2 - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 2 - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

2. При $x = 0$:

$f(0) = 2 - \sin(2 \cdot 0) = 2 - \sin(0) = 2 - 0 = 2$.

3. При $x = \frac{5\pi}{12}$:

$f(\frac{5\pi}{12}) = 2 - \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = 2 - \sin(\frac{10\pi}{12}) = 2 - \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Так как $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $f(\frac{5\pi}{12}) = 2 - \frac{1}{2} = 1.5$.

Ответ: $f(-\frac{\pi}{4}) = 3$; $f(0) = 2$; $f(\frac{5\pi}{12}) = 1.5$.

41. Запишите значения функции:

a) $f(x) = x^2 + 2x$ в точках $x_0, t + 1;$

б) $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ в точках $a, b - 1;$

в) $f(x) = \frac{1}{x} + 1$ в точках $x_0, a + 2;$

г) $f(x) = 2 \cos \frac{x}{3}$ в точках 2, $h + \pi.$

a)

б)

в)

г)

Рис. 26

а) Чтобы найти значения функции $f(x) = x^2 + 2x$ в заданных точках, необходимо подставить эти точки в формулу функции вместо переменной $x$.
1. Для точки $x_0$:
$f(x_0) = (x_0)^2 + 2(x_0) = x_0^2 + 2x_0$.
2. Для точки $t + 1$:
$f(t+1) = (t+1)^2 + 2(t+1)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f(t+1) = (t^2 + 2t + 1) + (2t + 2) = t^2 + 4t + 3$.
Ответ: $f(x_0) = x_0^2 + 2x_0$; $f(t+1) = t^2 + 4t + 3$.

б) Для функции $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ найдем ее значения в точках $a$ и $b-1$ путем подстановки.
1. В точке $a$:
$f(a) = \operatorname{tg}(2a)$.
2. В точке $b-1$:
$f(b-1) = \operatorname{tg}(2(b-1)) = \operatorname{tg}(2b - 2)$.
Ответ: $f(a) = \operatorname{tg}(2a)$; $f(b-1) = \operatorname{tg}(2b - 2)$.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{x} + 1$ найдем ее значения в точках $x_0$ и $a+2$.
1. В точке $x_0$ (при условии, что $x_0 \neq 0$):
$f(x_0) = \frac{1}{x_0} + 1$.
2. В точке $a+2$ (при условии, что $a+2 \neq 0$, т.е. $a \neq -2$):
$f(a+2) = \frac{1}{a+2} + 1$.
Ответ: $f(x_0) = \frac{1}{x_0} + 1$; $f(a+2) = \frac{1}{a+2} + 1$.

г) Для функции $f(x) = 2 \cos \frac{x}{3}$ найдем ее значения в точках $z$ и $h+\pi$.
1. В точке $z$:
$f(z) = 2 \cos \frac{z}{3}$.
2. В точке $h+\pi$:
$f(h+\pi) = 2 \cos \frac{h+\pi}{3}$.
Ответ: $f(z) = 2 \cos \frac{z}{3}$; $f(h+\pi) = 2 \cos \frac{h+\pi}{3}$.