Страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

36.—

a) $y = 2 + \sin x$;

б) $y = 1 + \operatorname{tg} x$;

в) $y = \cos x - 1$;

г) $y = 3 + \sin x$.

а) $y = 2 + \sin x$

Чтобы найти область значений функции, нужно определить все возможные значения, которые может принимать $y$.
Известно, что область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin x \le 1$
Чтобы получить функцию $y = 2 + \sin x$, прибавим 2 ко всем частям этого двойного неравенства:
$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$
$1 \le y \le 3$
Таким образом, область значений данной функции — это все числа от 1 до 3, включая концы.
Ответ: $E(y) = [1, 3]$.

б) $y = 1 + \tg x$

Область значений функции $y = \tg x$ — это множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty, +\infty)$.
Функция $y = 1 + \tg x$ представляет собой сумму функции $\tg x$ и константы 1. Так как $\tg x$ может принимать любое действительное значение, то и сумма $1 + \tg x$ также может принимать любое действительное значение. Сдвиг графика функции $\tg x$ на 1 единицу вверх по оси OY не меняет её области значений.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

в) $y = \cos x - 1$

Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде неравенства:
$-1 \le \cos x \le 1$
Чтобы получить данную функцию $y = \cos x - 1$, вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le \cos x - 1 \le 1 - 1$
$-2 \le y \le 0$
Следовательно, область значений функции — это отрезок от -2 до 0 включительно.
Ответ: $E(y) = [-2, 0]$.

г) $y = 3 + \sin x$

Решение аналогично пункту а). Мы исходим из того, что область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.
$-1 \le \sin x \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$3 - 1 \le 3 + \sin x \le 3 + 1$
$2 \le y \le 4$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от 2 до 4 включительно.
Ответ: $E(y) = [2, 4]$.

37.—

a) $y = 2 \sin x$;

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x$;

в) $y = 0,5 \tan x$;

г) $y = -1,5 \sin x$.

а) $y = 2 \sin x$

Данная функция — это синусоида, график которой получен из графика $y = \sin x$ растяжением вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Проанализируем ее основные свойства.

1. Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел. Умножение на константу не меняет область определения.
Следовательно, область определения $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Область значений для функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то, умножив все части неравенства на 2, получим:
$2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le y \le 2$
Следовательно, область значений $E(y)$ — это отрезок $[-2, 2]$.

3. Период: Основной период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Для функции вида $y = A \sin(Bx)$ период вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|B|}$. В нашем случае $A=2$ и $B=1$.
Таким образом, период функции $y = 2 \sin x$ равен $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[-2, 2]$; основной период: $2\pi$.

б) $y = -\frac{1}{2}\cos x$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза (т.е. с коэффициентом $\frac{1}{2}$) и последующим зеркальным отражением относительно оси OX.

1. Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y)$ данной функции — множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\cos x \le -\frac{1}{2} \cdot (-1)$
$-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область значений $E(y)$ — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

3. Период: Основной период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. Для функции $y = A \cos(Bx)$, период равен $T = \frac{2\pi}{|B|}$. Здесь $A=-\frac{1}{2}$ и $B=1$. Период $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$; основной период: $2\pi$.

в) $y = 0,5 \operatorname{tg} x$

График данной функции получен из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем сжатия к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза (т.е. с коэффициентом $0,5$).

1. Область определения: Функция тангенса $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена в точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, $D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: Область значений функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Умножение на ненулевую константу $0,5$ не меняет эту область.
Следовательно, область значений $E(y)$ — это $(-\infty; +\infty)$.

3. Период: Основной период функции $y = \operatorname{tg} x$ равен $\pi$. Для функции вида $y = A \operatorname{tg}(Bx)$ период вычисляется как $T = \frac{\pi}{|B|}$. В данном случае $A=0,5$ и $B=1$.
Период $T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; область значений: $(-\infty; +\infty)$; основной период: $\pi$.

г) $y = -1,5 \sin x$

График этой функции получается из графика $y = \sin x$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в $1,5$ раза и последующим зеркальным отражением относительно оси абсцисс (оси OX).

1. Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y)$ данной функции — множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Умножим все части неравенства на $-1,5$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются:
$-1,5 \cdot 1 \le -1,5 \sin x \le -1,5 \cdot (-1)$
$-1,5 \le y \le 1,5$
Таким образом, область значений $E(y)$ — это отрезок $[-1,5, 1,5]$.

3. Период: Основной период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Для функции $y = A \sin(Bx)$ период равен $T = \frac{2\pi}{|B|}$. Здесь $A=-1,5$ и $B=1$.
Период $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[-1,5, 1,5]$; основной период: $2\pi$.

38. а) $y = \sin x$;

б) $y = 1 + \cos x$;

в) $y = \cos x$;

г) $y = \sin x - 1$.

а) Функция $y = \sin x$ является основной тригонометрической функцией. Множество значений функции синус хорошо известно. По определению, синус угла $x$ — это ордината точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Так как радиус единичной окружности равен 1, ординаты точек на ней могут принимать любые значения от -1 (в самой нижней точке) до 1 (в самой верхней точке) включительно. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Таким образом, множество значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

б) Чтобы найти множество значений функции $y = 1 + \cos x$, мы начнем с множества значений функции $y = \cos x$. Как известно, значения косинуса лежат в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Теперь преобразуем это двойное неравенство, чтобы получить выражение для $y$. Для этого прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le \cos x + 1 \le 1 + 1$
$0 \le 1 + \cos x \le 2$
Поскольку $y = 1 + \cos x$, мы получаем:
$0 \le y \le 2$.
Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок $[0, 2]$. Графически это соответствует сдвигу графика $y=\cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

в) Функция $y = \cos x$ — это еще одна основная тригонометрическая функция. Ее множество значений определяется аналогично функции синуса. Косинус угла $x$ — это абсцисса точки на единичной окружности. Абсциссы точек на единичной окружности могут принимать значения от -1 (в самой левой точке) до 1 (в самой правой точке) включительно. Поэтому для любого действительного $x$ справедливо неравенство:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, множество значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

г) Для нахождения множества значений функции $y = \sin x - 1$ воспользуемся известным множеством значений для $y = \sin x$. Значения синуса находятся в интервале от -1 до 1:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Чтобы получить выражение для $y$, вычтем 1 из всех частей этого двойного неравенства:
$-1 - 1 \le \sin x - 1 \le 1 - 1$
$-2 \le \sin x - 1 \le 0$
Так как $y = \sin x - 1$, получаем:
$-2 \le y \le 0$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-2, 0]$. Графически это соответствует сдвигу графика $y=\sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Ответ: $E(y) = [-2, 0]$.

39. a) $y = x^2 - 3x$;

б) $y = \sin x - 1,5$;

В) $y = 2,5 + \cos x$;

г) $y = \frac{1}{x} + 1$.

а) $y = x^2 - 3x$

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы и не ограничена сверху.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = 1$, $b = -3$.

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Чтобы найти ординату вершины (наименьшее значение функции), подставим $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-2,25$. Область значений функции (множество всех значений, которые может принимать $y$) — это все числа, большие или равные $-2,25$.

Ответ: $E(y) = [-2,25; +\infty)$.

б) $y = \sin x - 1,5$

Область значений функции синус, $f(x) = \sin x$, представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$.

Чтобы найти область значений для функции $y = \sin x - 1,5$, вычтем $1,5$ из всех частей этого неравенства:

$-1 - 1,5 \le \sin x - 1,5 \le 1 - 1,5$.

Выполним вычисления:

$-2,5 \le y \le -0,5$.

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от $-2,5$ до $-0,5$.

Ответ: $E(y) = [-2,5; -0,5]$.

в) $y = 2,5 + \cos x$

Область значений функции косинус, $f(x) = \cos x$, представляет собой отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$.

Чтобы найти область значений для функции $y = 2,5 + \cos x$, прибавим $2,5$ ко всем частям этого неравенства:

$-1 + 2,5 \le \cos x + 2,5 \le 1 + 2,5$.

Выполним вычисления:

$1,5 \le y \le 3,5$.

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от $1,5$ до $3,5$.

Ответ: $E(y) = [1,5; 3,5]$.

г) $y = \frac{1}{x} + 1$

Данная функция является преобразованием обратной пропорциональности $f(x) = \frac{1}{x}$. Область определения функции $y = \frac{1}{x} + 1$ — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это все действительные числа, кроме нуля. То есть $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Функция $y = \frac{1}{x} + 1$ получена из функции $f(x) = \frac{1}{x}$ сдвигом ее графика вверх на 1 единицу вдоль оси ординат. Соответственно, и область ее значений будет сдвинута на 1 вверх.

Другой способ — выразить $x$ через $y$:

$y - 1 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{y - 1}$

Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть $y - 1 \neq 0$, откуда $y \neq 1$.

Таким образом, $y$ может принимать любые действительные значения, кроме 1.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.