Номер 37, страница 21 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 37, страница 21.

Условие.

37.—

a) $y = 2 \sin x$;

б) $y = -\frac{1}{2} \cos x$;

в) $y = 0,5 \tan x$;

г) $y = -1,5 \sin x$.

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = 2 \sin x$

Данная функция — это синусоида, график которой получен из графика $y = \sin x$ растяжением вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Проанализируем ее основные свойства.

1. Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел. Умножение на константу не меняет область определения.
Следовательно, область определения $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Область значений для функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$, то, умножив все части неравенства на 2, получим:
$2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le y \le 2$
Следовательно, область значений $E(y)$ — это отрезок $[-2, 2]$.

3. Период: Основной период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Для функции вида $y = A \sin(Bx)$ период вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|B|}$. В нашем случае $A=2$ и $B=1$.
Таким образом, период функции $y = 2 \sin x$ равен $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[-2, 2]$; основной период: $2\pi$.

б) $y = -\frac{1}{2}\cos x$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза (т.е. с коэффициентом $\frac{1}{2}$) и последующим зеркальным отражением относительно оси OX.

1. Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y)$ данной функции — множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\cos x \le -\frac{1}{2} \cdot (-1)$
$-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$
Таким образом, область значений $E(y)$ — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

3. Период: Основной период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. Для функции $y = A \cos(Bx)$, период равен $T = \frac{2\pi}{|B|}$. Здесь $A=-\frac{1}{2}$ и $B=1$. Период $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$; основной период: $2\pi$.

в) $y = 0,5 \operatorname{tg} x$

График данной функции получен из графика $y = \operatorname{tg} x$ путем сжатия к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза (т.е. с коэффициентом $0,5$).

1. Область определения: Функция тангенса $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена в точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, $D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: Область значений функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Умножение на ненулевую константу $0,5$ не меняет эту область.
Следовательно, область значений $E(y)$ — это $(-\infty; +\infty)$.

3. Период: Основной период функции $y = \operatorname{tg} x$ равен $\pi$. Для функции вида $y = A \operatorname{tg}(Bx)$ период вычисляется как $T = \frac{\pi}{|B|}$. В данном случае $A=0,5$ и $B=1$.
Период $T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Ответ: Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; область значений: $(-\infty; +\infty)$; основной период: $\pi$.

г) $y = -1,5 \sin x$

График этой функции получается из графика $y = \sin x$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в $1,5$ раза и последующим зеркальным отражением относительно оси абсцисс (оси OX).

1. Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(y)$ данной функции — множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Умножим все части неравенства на $-1,5$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются:
$-1,5 \cdot 1 \le -1,5 \sin x \le -1,5 \cdot (-1)$
$-1,5 \le y \le 1,5$
Таким образом, область значений $E(y)$ — это отрезок $[-1,5, 1,5]$.

3. Период: Основной период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Для функции $y = A \sin(Bx)$ период равен $T = \frac{2\pi}{|B|}$. Здесь $A=-1,5$ и $B=1$.
Период $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $[-1,5, 1,5]$; основной период: $2\pi$.