Номер 42, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 42, страница 29.

Условие.

42.- Является ли графиком функции фигура, изображенная на рисунке 26, $a-\Gamma$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, является ли фигура на графике функцией, необходимо воспользоваться определением функции. Функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из области определения соответствует единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

Для графической проверки используется тест вертикальной линии. Если любая вертикальная прямая, параллельная оси ординат (оси $y$), пересекает график не более чем в одной точке, то этот график задает функцию. Если же можно провести хотя бы одну вертикальную прямую, которая пересечет график в двух или более точках, то этот график функцией не является.

Так как конкретные изображения для пунктов а, б, в, г не предоставлены, мы проанализируем общие случаи, которые обычно встречаются в таких задачах.

а)

Предположим, на рисунке изображена кривая, похожая на параболу с ветвями вверх или вниз, или на прямую, не параллельную оси $y$. В таких случаях любая вертикальная прямая $x = \text{const}$ будет пересекать график ровно в одной точке. Это соответствует определению функции, так как каждому значению $x$ ставится в соответствие одно-единственное значение $y$.
Ответ: Да, если фигура проходит тест вертикальной линии (например, является параболой вида $y=ax^2+bx+c$ или невертикальной прямой).

б)

Предположим, на рисунке изображена фигура, похожая на окружность или эллипс. Если провести вертикальную прямую через внутреннюю область такой фигуры (не касательную), она пересечет график в двух точках. Например, для окружности с центром в начале координат $x^2 + y^2 = R^2$, значению $x=0.5R$ будут соответствовать два значения $y$: $y = \sqrt{R^2 - (0.5R)^2}$ и $y = -\sqrt{R^2 - (0.5R)^2}$. Так как одному значению $x$ соответствует более одного значения $y$, такая фигура не является графиком функции.
Ответ: Нет, если фигура не проходит тест вертикальной линии (например, является окружностью или эллипсом).

в)

Предположим, на рисунке изображена кривая, симметричная относительно горизонтальной оси, например, парабола с ветвями, направленными вправо или влево (задается уравнением вида $x=ay^2+by+c$). Для многих значений $x$ из области определения вертикальная прямая будет пересекать график в двух точках. Например, для графика $x=y^2$ при $x=4$ существуют два значения $y$: $2$ и $-2$. Следовательно, это не график функции.
Ответ: Нет, если фигура не проходит тест вертикальной линии (например, является параболой вида $x=y^2$).

г)

Предположим, на рисунке изображена ломаная или гладкая кривая. Необходимо применить тот же тест вертикальной линии. Если любая воображаемая вертикальная линия пересекает кривую только в одной точке на всей ее протяженности, то это график функции. Если найдется хотя бы одно место, где вертикальная линия пересекает кривую дважды или более, то это не функция. Часто в качестве примера функции приводят график модуля $y=|x|$ или синусоиду $y=\sin(x)$, а в качестве примера не-функции — зигзаг, "заворачивающийся" назад.
Ответ: Ответ зависит от конкретного вида фигуры. Если она проходит тест вертикальной линии — является, если не проходит — не является.