Номер 47, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 47, страница 29.

Условие.

47.- Начертите график какой-нибудь функции $f$, для которой:

a) $D(f) = [-2; 4]$, $E(f) = [-3; 3];$

б) $D(f) = (-5; 3)$, $E(f) = [2; 6].$

a)

б)

в)

г)

Рис. 27

Решение 1.

Решение 5.

a) Требуется начертить график функции $f$, для которой область определения $D(f) = [-2; 4]$ и область значений $E(f) = [-3; 3]$.
1. Область определения $D(f) = [-2; 4]$ означает, что график функции существует для всех значений $x$ в отрезке от $-2$ до $4$. Концы отрезка, $x=-2$ и $x=4$, включены в область определения, поэтому на графике в этих точках (или на вертикальных линиях, проходящих через них) должны быть закрашенные точки.
2. Область значений $E(f) = [-3; 3]$ означает, что все значения $y$, принимаемые функцией, лежат в отрезке от $-3$ до $3$. При этом должны существовать такие значения $x$ из области определения, при которых $f(x) = -3$ и $f(x) = 3$.
3. Наиболее простой пример такой функции — это линейная функция, график которой представляет собой отрезок. Чтобы удовлетворить обоим условиям, можно соединить точку с наименьшими возможными координатами из заданных областей с точкой с наибольшими возможными координатами. Возьмем точки $(-2, -3)$ и $(4, 3)$.
4. Проведем отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, -3)$ и $(4, 3)$. Для любой точки на этом отрезке ее координата $x$ будет находиться в диапазоне $[-2; 4]$, а координата $y$ — в диапазоне $[-3; 3]$. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: Графиком функции может служить отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-2, -3)$ и $(4, 3)$.

б) Требуется начертить график функции $f$, для которой область определения $D(f) = (-5; 3)$ и область значений $E(f) = [2; 6]$.
1. Область определения $D(f) = (-5; 3)$ означает, что функция определена для всех $x$, которые строго больше $-5$ и строго меньше $3$. Концы интервала, $x=-5$ и $x=3$, не входят в область определения. На графике это изображается с помощью «выколотых» (пустых) точек на концах.
2. Область значений $E(f) = [2; 6]$ означает, что значения функции $y$ лежат в отрезке от $2$ до $6$ включительно. Это значит, что функция должна достигать своего минимального значения $2$ и максимального значения $6$ при некоторых значениях $x$ из своей области определения.
3. Так как область определения является открытым интервалом, а область значений — замкнутым отрезком, функция не может быть монотонной. Она должна достигать своего минимума и максимума во внутренних точках интервала $(-5; 3)$.
4. Построим кривую, имеющую локальный минимум и локальный максимум. Например, пусть функция достигает минимума в точке $(-2, 2)$ и максимума в точке $(1, 6)$. Заметим, что $x=-2$ и $x=1$ принадлежат интервалу $(-5; 3)$.
5. Теперь нужно достроить график до границ области определения. Можно нарисовать гладкую кривую, которая начинается в выколотой точке на прямой $x=-5$ (например, в точке $(-5, 4)$), затем опускается до точки минимума $(-2, 2)$, поднимается до точки максимума $(1, 6)$ и затем опускается до выколотой точки на прямой $x=3$ (например, до точки $(3, 5)$).
6. Построенный график удовлетворяет всем условиям: область его определения — это интервал $x \in (-5; 3)$; наименьшее значение функции равно $2$, а наибольшее равно $6$, и по теореме о промежуточном значении для непрерывной функции все значения между $2$ и $6$ также принимаются. Следовательно, область значений — это отрезок $[2; 6]$.

Ответ: Графиком функции может служить кривая, которая имеет выколотые концы (например, в точках $(-5, 4)$ и $(3, 5)$), достигает своего минимума в точке $(-2, 2)$ и максимума в точке $(1, 6)$.