Номер 50, страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 50, страница 30.

Условие.

50.-

a) $y = 1 + 2 \sin x$;

б) $y = \sqrt{x+1} - 1$;

в) $y = 0.5 \cos x - 1$;

г) $y = 2 + \sqrt{x-1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы найти область значений функции $y = 1 + 2 \sin x$, воспользуемся известной областью значений функции синус:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$-1 \cdot 2 \le 2 \sin x \le 1 \cdot 2$
$-2 \le 2 \sin x \le 2$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le 1 + 2 \sin x \le 2 + 1$
$-1 \le y \le 3$.
Таким образом, область значений данной функции — это все числа от -1 до 3, включая концы.
Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

б) Для функции $y = \sqrt{x + 1} - 1$.
Сначала определим область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Теперь найдем область значений. По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения:
$\sqrt{x + 1} \ge 0$.
Вычтем 1 из обеих частей этого неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$\sqrt{x + 1} - 1 \ge 0 - 1$
$y \ge -1$.
Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.

в) Чтобы найти область значений функции $y = 0,5 \cos x - 1$, используем область значений функции косинус:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части двойного неравенства на 0,5:
$-1 \cdot 0,5 \le 0,5 \cos x \le 1 \cdot 0,5$
$-0,5 \le 0,5 \cos x \le 0,5$.
Далее, вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-0,5 - 1 \le 0,5 \cos x - 1 \le 0,5 - 1$
$-1,5 \le y \le -0,5$.
Значит, область значений функции — это отрезок от -1,5 до -0,5.
Ответ: $E(y) = [-1,5; -0,5]$.

г) Для функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$.
Найдем область определения. Подкоренное выражение не может быть отрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Теперь перейдем к области значений. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен:
$\sqrt{x - 1} \ge 0$.
Прибавим 2 к обеим частям неравенства:
$2 + \sqrt{x - 1} \ge 2 + 0$
$y \ge 2$.
Таким образом, область значений функции — это все числа, которые больше или равны 2.
Ответ: $E(y) = [2; +\infty)$.