Номер 54, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 54, страница 31.

Условие.

54.— Найдите область определения и область значений функции:

a) $y = 1 + \sin^2 x$;
б) $y = \frac{x-1}{x}$;
в) $y = \sqrt{x^2 + 4}$;
г) $y = 1,5 - 0,5 \cos^2 x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = 1 + \sin^2 x$

Область определения D(y): Функция $\sin x$ определена для любого действительного числа $x$. Выражение $1 + \sin^2 x$ также определено для любого действительного $x$, так как операции возведения в квадрат и сложения определены для всех чисел. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(y): Для любого $x$ значение $\sin x$ находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. При возведении в квадрат получаем $0 \le \sin^2 x \le 1$. Далее, прибавляя 1 ко всем частям двойного неравенства, находим границы для $y$: $1 + 0 \le 1 + \sin^2 x \le 1 + 1$ $1 \le y \le 2$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[1; 2]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [1; 2]$.

б) $y = \frac{x-1}{x}$

Область определения D(y): Данная функция является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен быть равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \ne 0$. Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме 0. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений E(y): Чтобы найти область значений, преобразуем выражение: $y = \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$. Выражение $\frac{1}{x}$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля (так как дробь $\frac{1}{x}$ равна нулю только если числитель равен нулю, что невозможно). Значит, $y$ может принимать любые значения, кроме $y = 1 - 0 = 1$. Другой способ: выразим $x$ через $y$. $y = \frac{x-1}{x} \implies yx = x-1 \implies yx - x = -1 \implies x(y-1) = -1 \implies x = \frac{-1}{y-1}$. Это выражение имеет смысл для всех $y$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $y-1 \ne 0 \implies y \ne 1$. Следовательно, область значений функции — все действительные числа, кроме 1. $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения D(y): Функция содержит квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Так как $4 > 0$, неравенство $x^2 + 4 \ge 0$ выполняется для всех $x$. Следовательно, область определения — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(y): Как было показано выше, подкоренное выражение $x^2 + 4$ принимает значения не меньше 4. Минимальное значение $x^2 + 4$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 + 4 = 4$. Таким образом, $x^2 + 4 \ge 4$. Поскольку функция квадратного корня является возрастающей и значение корня по определению неотрицательно, то: $y = \sqrt{x^2 + 4} \ge \sqrt{4} = 2$. Следовательно, область значений функции — все числа, большие или равные 2. $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [2; +\infty)$.

г) $y = 1,5 - 0,5 \cos^2 x$

Область определения D(y): Функция $\cos x$ определена для любого действительного числа $x$. Операции возведения в квадрат, умножения и вычитания с константами не накладывают дополнительных ограничений. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений E(y): Для любого $x$ значение $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$. При возведении в квадрат получаем $0 \le \cos^2 x \le 1$. Умножим все части неравенства на $-0,5$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $1 \cdot (-0,5) \le -0,5 \cos^2 x \le 0 \cdot (-0,5)$ $-0,5 \le -0,5 \cos^2 x \le 0$. Теперь прибавим 1,5 ко всем частям неравенства: $1,5 - 0,5 \le 1,5 - 0,5 \cos^2 x \le 1,5 + 0$ $1 \le y \le 1,5$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[1; 1,5]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [1; 1,5]$.