Номер 55, страница 31 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 55, страница 31.

Условие.

Постройте графики функций (55–56).

55. а) $y = |x - 1|;$

б) $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \ge 2; \\ 2 - x, & \text{если } x < 2; \end{cases}$

в) $y = \sqrt{2x - 2};$

г) $y = \begin{cases} 3 - x^2, & \text{если } x > 1, \\ x - 2, & \text{если } x \le 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для построения графика функции $y = |x - 1|$ необходимо раскрыть модуль. Определение модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

1. Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. На этом промежутке функция имеет вид $y = x - 1$. Это прямая линия. Найдем две точки, чтобы ее построить:
- При $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

2. Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 1 < 0$, что эквивалентно $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. На этом промежутке функция имеет вид $y = 1 - x$. Это также прямая линия.
- При $x = 0$, $y = 1 - 0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- При $x = -1$, $y = 1 - (-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Совмещая обе части на координатной плоскости, получаем график. Также можно заметить, что график функции $y = |x - 1|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для $x \ge 1$ это луч, совпадающий с прямой $y = x - 1$, а для $x < 1$ — это луч, совпадающий с прямой $y = 1 - x$.

б)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 2 - x, & \text{если } x < 2 \end{cases}$. Ее график состоит из двух частей.

1. При $x \ge 2$ строим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $(0, -4)$. Мы строим только ту ее часть, которая соответствует условию $x \ge 2$.
- Найдем значение на границе: при $x = 2$, $y = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2, 0)$ принадлежит графику.
- Возьмем еще одну точку: при $x = 3$, $y = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3, 5)$.

2. При $x < 2$ строим график функции $y = 2 - x$. Это прямая линия.
- Найдем предел на границе: при $x \to 2^-$, $y \to 2 - 2 = 0$. График подходит к точке $(2, 0)$, но сама точка не включается (является выколотой для этой части).
- Возьмем еще одну точку: при $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Поскольку значение первой функции в точке $x=2$ равно $0$ и предел второй функции при $x \to 2$ также равен $0$, эти две части графика соединяются в точке $(2, 0)$. Таким образом, функция является непрерывной.

Ответ: График состоит из луча прямой $y = 2 - x$ на интервале $(-\infty, 2)$ и части параболы $y = x^2 - 4$ на полуинтервале $[2, +\infty)$. Точка их соединения — $(2, 0)$.

в)

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x - 2}$ сначала найдем ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2x - 2 \ge 0 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$. Таким образом, функция определена для всех $x \ge 1$.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:
- При $x = 1$, $y = \sqrt{2(1) - 2} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка графика — $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = \sqrt{2(3) - 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3, 2)$.
- При $x = 5.5$, $y = \sqrt{2(5.5) - 2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5.5, 3)$.

График этой функции — это ветвь параболы. Если возвести обе части уравнения в квадрат, получим $y^2 = 2x - 2$ (при условии $y \ge 0$). Выразив $x$, получим $x = \frac{1}{2}y^2 + 1$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(1, 0)$ и ветвями, направленными вправо. Так как в исходной функции $y \ge 0$, мы берем только верхнюю ветвь этой параболы.

Ответ: График функции — это верхняя ветвь параболы $x = \frac{1}{2}y^2 + 1$, которая начинается в точке $(1, 0)$ и возрастает при увеличении $x$.

г)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} 3 - x^2, & \text{если } x > 1 \\ x - 2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$. Ее график состоит из двух частей.

1. При $x > 1$ строим график функции $y = 3 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 3)$. Нас интересует только часть графика при $x > 1$.
- Найдем предел на границе: при $x \to 1^+$, $y \to 3 - 1^2 = 2$. Точка $(1, 2)$ является граничной, но не принадлежит графику (изображается выколотой).
- Возьмем еще одну точку: при $x = 2$, $y = 3 - 2^2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

2. При $x \le 1$ строим график функции $y = x - 2$. Это прямая линия.
- Найдем значение на границе: при $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику (изображается закрашенной).
- Возьмем еще одну точку: при $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

В точке $x = 1$ значения функций не совпадают. Значение функции слева (и в самой точке) равно $-1$, а предел справа равен $2$. Это означает, что в точке $x = 1$ функция терпит разрыв.

Ответ: График состоит из двух несвязанных частей. На промежутке $(-\infty, 1]$ это луч прямой $y = x - 2$, заканчивающийся закрашенной точкой $(1, -1)$. На промежутке $(1, +\infty)$ это часть параболы $y = 3 - x^2$, которая начинается с выколотой точки $(1, 2)$ и идет вниз. Функция имеет разрыв в точке $x=1$.