Номер 51, страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 51, страница 30.

Условие.

51.— Найдите значения функции:

a) $f(x) = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0, \end{cases}$ в точках $-2; -\frac{1}{3}; 0; 5;$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, \text{ если } x \ge -1, \\ 1 - x, \text{ если } x < -1, \end{cases}$ в точках $-2; -1; 0; 4;$

в) $f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } x > 0, \\ \cos x - 1, \text{ если } x \le 0, \end{cases}$ в точках $-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{6}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения значений кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ необходимо для каждой точки определить, какому из условий ($x \ge 0$ или $x < 0$) она удовлетворяет, и подставить ее в соответствующую формулу.

При $x = -2$: так как $-2 < 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-2) = -(-2) = 2$.

При $x = -\frac{1}{3}$: так как $-\frac{1}{3} < 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-\frac{1}{3}) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

При $x = 0$: так как $0 \ge 0$, используем первую ветвь функции.
$f(0) = 0$.

При $x = 5$: так как $5 \ge 0$, используем первую ветвь функции.
$f(5) = 5$.

Ответ: $f(-2)=2$; $f(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$; $f(0)=0$; $f(5)=5$.

---

б) Для функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x \ge -1 \\ 1 - x, & \text{если } x < -1 \end{cases}$ действуем аналогично.

При $x = -2$: так как $-2 < -1$, используем вторую ветвь функции.
$f(-2) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

При $x = -1$: так как $-1 \ge -1$, используем первую ветвь функции.
$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

При $x = 0$: так как $0 \ge -1$, используем первую ветвь функции.
$f(0) = 0^2 - 1 = -1$.

При $x = 4$: так как $4 \ge -1$, используем первую ветвь функции.
$f(4) = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$.

Ответ: $f(-2)=3$; $f(-1)=0$; $f(0)=-1$; $f(4)=15$.

---

в) Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x > 0 \\ \cos x - 1, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$ находим значения в заданных точках.

При $x = -\frac{\pi}{2}$: так как $-\frac{\pi}{2} \le 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1$.

При $x = -\frac{\pi}{3}$: так как $-\frac{\pi}{3} \le 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) - 1 = \cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

При $x = 0$: так как $0 \le 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(0) = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$.

При $x = \frac{\pi}{6}$: так как $\frac{\pi}{6} > 0$, используем первую ветвь функции.
$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $f(-\frac{\pi}{2})=-1$; $f(-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}$; $f(0)=0$; $f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$.