Номер 44, страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 44, страница 29.

Условие.

44. a) $f(x) = \frac{1}{x^3}$;

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} x$;

В) $f(x) = 1 + \operatorname{ctg} x$;

г) $f(x) = \frac{1}{x^4}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x^3}$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Сначала представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$.

Далее используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

В нашем случае $n = -3$.

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x^3}$ имеет вид $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$.

б)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 2 \tg x$ вычислим интеграл $\int 2 \tg x dx$.

Вынесем константу за знак интеграла: $2 \int \tg x dx$.

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $2 \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$.

Воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = \cos x$, тогда $du = -\sin x dx$, откуда $\sin x dx = -du$.

Подставим в интеграл: $2 \int \frac{-du}{u} = -2 \int \frac{du}{u} = -2 \ln|u| + C$.

Теперь выполним обратную замену $u = \cos x$.

Получаем: $-2 \ln|\cos x| + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x) = 2 \tg x$ имеет вид $F(x) = -2 \ln|\cos x| + C$.

Ответ: $F(x) = -2 \ln|\cos x| + C$.

в)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 1 + \ctg x$ вычислим интеграл $\int (1 + \ctg x) dx$.

Используем свойство аддитивности интеграла: $\int (1 + \ctg x) dx = \int 1 dx + \int \ctg x dx$.

Интеграл от единицы равен $x$: $\int 1 dx = x$.

Для нахождения интеграла от котангенса представим его как отношение косинуса к синусу: $\int \ctg x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $u = \sin x$, тогда $du = \cos x dx$.

Подставим в интеграл: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1$.

Выполнив обратную замену $u = \sin x$, получим $\ln|\sin x| + C_1$.

Суммируя результаты и объединяя константы, получаем: $x + \ln|\sin x| + C$, где $C$ - общая произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x + \ln|\sin x| + C$.

г)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ вычислим неопределенный интеграл. Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-4}$.

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

В данном случае $n = -4$.

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

Следовательно, множество всех первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ имеет вид $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + C$.