Страница 29 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

42.- Является ли графиком функции фигура, изображенная на рисунке 26, $a-\Gamma$?

Чтобы определить, является ли фигура на графике функцией, необходимо воспользоваться определением функции. Функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из области определения соответствует единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

Для графической проверки используется тест вертикальной линии. Если любая вертикальная прямая, параллельная оси ординат (оси $y$), пересекает график не более чем в одной точке, то этот график задает функцию. Если же можно провести хотя бы одну вертикальную прямую, которая пересечет график в двух или более точках, то этот график функцией не является.

Так как конкретные изображения для пунктов а, б, в, г не предоставлены, мы проанализируем общие случаи, которые обычно встречаются в таких задачах.

а)

Предположим, на рисунке изображена кривая, похожая на параболу с ветвями вверх или вниз, или на прямую, не параллельную оси $y$. В таких случаях любая вертикальная прямая $x = \text{const}$ будет пересекать график ровно в одной точке. Это соответствует определению функции, так как каждому значению $x$ ставится в соответствие одно-единственное значение $y$.
Ответ: Да, если фигура проходит тест вертикальной линии (например, является параболой вида $y=ax^2+bx+c$ или невертикальной прямой).

б)

Предположим, на рисунке изображена фигура, похожая на окружность или эллипс. Если провести вертикальную прямую через внутреннюю область такой фигуры (не касательную), она пересечет график в двух точках. Например, для окружности с центром в начале координат $x^2 + y^2 = R^2$, значению $x=0.5R$ будут соответствовать два значения $y$: $y = \sqrt{R^2 - (0.5R)^2}$ и $y = -\sqrt{R^2 - (0.5R)^2}$. Так как одному значению $x$ соответствует более одного значения $y$, такая фигура не является графиком функции.
Ответ: Нет, если фигура не проходит тест вертикальной линии (например, является окружностью или эллипсом).

в)

Предположим, на рисунке изображена кривая, симметричная относительно горизонтальной оси, например, парабола с ветвями, направленными вправо или влево (задается уравнением вида $x=ay^2+by+c$). Для многих значений $x$ из области определения вертикальная прямая будет пересекать график в двух точках. Например, для графика $x=y^2$ при $x=4$ существуют два значения $y$: $2$ и $-2$. Следовательно, это не график функции.
Ответ: Нет, если фигура не проходит тест вертикальной линии (например, является параболой вида $x=y^2$).

г)

Предположим, на рисунке изображена ломаная или гладкая кривая. Необходимо применить тот же тест вертикальной линии. Если любая воображаемая вертикальная линия пересекает кривую только в одной точке на всей ее протяженности, то это график функции. Если найдется хотя бы одно место, где вертикальная линия пересекает кривую дважды или более, то это не функция. Часто в качестве примера функции приводят график модуля $y=|x|$ или синусоиду $y=\sin(x)$, а в качестве примера не-функции — зигзаг, "заворачивающийся" назад.
Ответ: Ответ зависит от конкретного вида фигуры. Если она проходит тест вертикальной линии — является, если не проходит — не является.

Найдите область определения каждой из функций (43—44).

43. а) $f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}$;

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$;

в) $f(x) = \frac{5 - x^2}{x^2 + 2x - 8}$;

г) $f(x) = \sqrt{36 - x^2}$.

а) $f(x) = \frac{x-1}{x^2 - 4x + 3}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Дробь имеет смысл, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому мы должны исключить из области определения все значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$, откуда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x=1$ и $x=3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 1 и 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

Данная функция содержит квадратный корень. Область определения функции с квадратным корнем — это множество всех значений аргумента $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:

$x^2 - 9 \geq 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 3)(x + 3) \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 3]$ и $[3; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 3)(x + 3)$ в каждом интервале. Выражение положительно при $x < -3$ и при $x > 3$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.

Следовательно, область определения функции — это объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{5 - x^2}{x^2 + 2x - 8}$

Функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

По теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-8$, откуда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Значит, при $x=2$ и $x=-4$ знаменатель равен нулю. Эти значения нужно исключить из области определения.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 2) \cup (2; +\infty)$.

г) $f(x) = \sqrt{36 - x^2}$

Эта функция содержит выражение под знаком квадратного корня. Область определения такой функции состоит из всех значений $x$, для которых подкоренное выражение является неотрицательным.

Необходимо решить неравенство:

$36 - x^2 \geq 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(6 - x)(6 + x) \geq 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(6 - x)(6 + x) = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Парабола $y = 36 - x^2$ ветвями вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), концы интервала, точки $x=-6$ и $x=6$, включаются в решение.

Таким образом, область определения функции — это отрезок от -6 до 6.

Ответ: $x \in [-6; 6]$.

44. a) $f(x) = \frac{1}{x^3}$;

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} x$;

В) $f(x) = 1 + \operatorname{ctg} x$;

г) $f(x) = \frac{1}{x^4}$.

а)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x^3}$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Сначала представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$.

Далее используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

В нашем случае $n = -3$.

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x^3}$ имеет вид $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + C$.

б)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 2 \tg x$ вычислим интеграл $\int 2 \tg x dx$.

Вынесем константу за знак интеграла: $2 \int \tg x dx$.

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $2 \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$.

Воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = \cos x$, тогда $du = -\sin x dx$, откуда $\sin x dx = -du$.

Подставим в интеграл: $2 \int \frac{-du}{u} = -2 \int \frac{du}{u} = -2 \ln|u| + C$.

Теперь выполним обратную замену $u = \cos x$.

Получаем: $-2 \ln|\cos x| + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x) = 2 \tg x$ имеет вид $F(x) = -2 \ln|\cos x| + C$.

Ответ: $F(x) = -2 \ln|\cos x| + C$.

в)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 1 + \ctg x$ вычислим интеграл $\int (1 + \ctg x) dx$.

Используем свойство аддитивности интеграла: $\int (1 + \ctg x) dx = \int 1 dx + \int \ctg x dx$.

Интеграл от единицы равен $x$: $\int 1 dx = x$.

Для нахождения интеграла от котангенса представим его как отношение косинуса к синусу: $\int \ctg x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $u = \sin x$, тогда $du = \cos x dx$.

Подставим в интеграл: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_1$.

Выполнив обратную замену $u = \sin x$, получим $\ln|\sin x| + C_1$.

Суммируя результаты и объединяя константы, получаем: $x + \ln|\sin x| + C$, где $C$ - общая произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x + \ln|\sin x| + C$.

г)

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ вычислим неопределенный интеграл. Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-4}$.

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

В данном случае $n = -4$.

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

Следовательно, множество всех первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ имеет вид $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + C$.

45. Найдите область определения и область значений каждой из функций:

а) $y = 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $y = 2 + \frac{4}{x-3}$;

в) $y = \frac{3}{x+1} - 1$;

г) $y = 3 + 0,5 \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$.

а) Для функции $y = 2 \cos(x - \frac{\pi}{3})$:
Область определения: Функция косинуса определена для любого действительного значения аргумента. Так как $x$ может быть любым действительным числом, выражение $x - \frac{\pi}{3}$ также может быть любым действительным числом. Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Мы знаем, что значения функции $\cos(u)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$2 \cdot (-1) \le 2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 2 \cdot 1$
$-2 \le y \le 2$
Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это отрезок $[-2, 2]$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; 2]$.

б) Для функции $y = 2 + \frac{4}{x-3}$:
Область определения: Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.
$x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$.
Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме 3.
$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Область значений: Выразим $x$ через $y$:
$y - 2 = \frac{4}{x-3}$
$x - 3 = \frac{4}{y-2}$
$x = 3 + \frac{4}{y-2}$
Это выражение имеет смысл для всех $y$, при которых знаменатель $y-2$ не равен нулю, то есть $y \ne 2$. Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это все действительные числа, кроме 2.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{3}{x+1} - 1$:
Область определения: Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.
$x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это все действительные числа, кроме -1.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Область значений: Выразим $x$ через $y$:
$y + 1 = \frac{3}{x+1}$
$x + 1 = \frac{3}{y+1}$
$x = \frac{3}{y+1} - 1$
Это выражение имеет смысл для всех $y$, при которых знаменатель $y+1$ не равен нулю, то есть $y \ne -1$. Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это все действительные числа, кроме -1.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

г) Для функции $y = 3 + 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4})$:
Область определения: Функция синуса определена для любого действительного значения аргумента. Так как $x$ может быть любым действительным числом, выражение $x + \frac{\pi}{4}$ также может быть любым действительным числом. Следовательно, область определения функции ($D(y)$) — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Мы знаем, что значения функции $\sin(u)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 0,5:
$0,5 \cdot (-1) \le 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 0,5 \cdot 1$
$-0,5 \le 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 0,5$
Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 0,5 \le 3 + 0,5 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 3 + 0,5$
$2,5 \le y \le 3,5$
Следовательно, область значений функции ($E(y)$) — это отрезок $[2,5; 3,5]$.
Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = [2,5; 3,5]$.

46. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображен на рисунке 27, а–г.

Для нахождения области определения и области значений функции по её графику необходимо проанализировать проекции графика на оси координат.

• Область определения функции (D(y)) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Геометрически это проекция графика функции на ось абсцисс (ось Ox).
• Область значений функции (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Геометрически это проекция графика функции на ось ординат (ось Oy).

а)

На рисунке а изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Область определения: График простирается неограниченно влево и вправо вдоль оси Ox. Для любого значения $x$ из множества действительных чисел можно найти соответствующее значение $y$. Следовательно, область определения — все действительные числа.

Область значений: Самая низкая точка графика — это его вершина с ординатой $y = -1$. Все остальные точки графика лежат выше. Таким образом, функция принимает все значения от $-1$ включительно и до $+\infty$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

б)

На рисунке б изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3.

Область определения: График существует для значений $x$ от $-3$ до $3$ включительно. Проекцией графика на ось Ox является отрезок $[-3, 3]$.

Область значений: Минимальное значение функции равно 0 (при $x = -3$ и $x = 3$), а максимальное значение равно радиусу, то есть 3 (при $x = 0$). Функция принимает все значения между 0 и 3 включительно. Проекцией графика на ось Oy является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-3; 3]$. Область значений $E(y) = [0; 3]$.

в)

На рисунке в изображен график кусочно-заданной функции. Он состоит из двух частей: горизонтального луча и луча, направленного вверх и вправо.

Область определения: Левая часть графика определена для всех $x < 1$. Правая часть графика определена для всех $x \ge 1$. Точка при $x = 1$ закрашена (принадлежит графику), её ордината равна -1. Таким образом, функция определена для всех действительных значений $x$.

Область значений: Левая часть графика — это горизонтальный луч $y=2$ (при $x<1$), точка $(1,2)$ выколота. Правая часть графика начинается в точке $(1, -1)$ и идёт вверх до бесконечности. Таким образом, для $x \ge 1$ функция принимает все значения из промежутка $[-1; +\infty)$. Объединяя значения из обеих частей, получаем, что множество значений функции — это объединение множества $\{2\}$ и промежутка $[-1; +\infty)$. Поскольку число 2 содержится в промежутке $[-1; +\infty)$, итоговая область значений — это $[-1; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

г)

На рисунке г график функции состоит из трех отдельных точек: $(-2, 4)$, $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

Область определения: Функция определена только в тех значениях $x$, которые являются абсциссами данных точек. Это конечное множество чисел.

Область значений: Функция принимает только те значения $y$, которые являются ординатами данных точек. Это также конечное множество чисел.

Ответ: Область определения $D(y) = \{-2; 0; 2\}$. Область значений $E(y) = \{0; 4\}$.

47.- Начертите график какой-нибудь функции $f$, для которой:

a) $D(f) = [-2; 4]$, $E(f) = [-3; 3];$

б) $D(f) = (-5; 3)$, $E(f) = [2; 6].$

a)

б)

в)

г)

Рис. 27

a) Требуется начертить график функции $f$, для которой область определения $D(f) = [-2; 4]$ и область значений $E(f) = [-3; 3]$.
1. Область определения $D(f) = [-2; 4]$ означает, что график функции существует для всех значений $x$ в отрезке от $-2$ до $4$. Концы отрезка, $x=-2$ и $x=4$, включены в область определения, поэтому на графике в этих точках (или на вертикальных линиях, проходящих через них) должны быть закрашенные точки.
2. Область значений $E(f) = [-3; 3]$ означает, что все значения $y$, принимаемые функцией, лежат в отрезке от $-3$ до $3$. При этом должны существовать такие значения $x$ из области определения, при которых $f(x) = -3$ и $f(x) = 3$.
3. Наиболее простой пример такой функции — это линейная функция, график которой представляет собой отрезок. Чтобы удовлетворить обоим условиям, можно соединить точку с наименьшими возможными координатами из заданных областей с точкой с наибольшими возможными координатами. Возьмем точки $(-2, -3)$ и $(4, 3)$.
4. Проведем отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, -3)$ и $(4, 3)$. Для любой точки на этом отрезке ее координата $x$ будет находиться в диапазоне $[-2; 4]$, а координата $y$ — в диапазоне $[-3; 3]$. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: Графиком функции может служить отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-2, -3)$ и $(4, 3)$.

б) Требуется начертить график функции $f$, для которой область определения $D(f) = (-5; 3)$ и область значений $E(f) = [2; 6]$.
1. Область определения $D(f) = (-5; 3)$ означает, что функция определена для всех $x$, которые строго больше $-5$ и строго меньше $3$. Концы интервала, $x=-5$ и $x=3$, не входят в область определения. На графике это изображается с помощью «выколотых» (пустых) точек на концах.
2. Область значений $E(f) = [2; 6]$ означает, что значения функции $y$ лежат в отрезке от $2$ до $6$ включительно. Это значит, что функция должна достигать своего минимального значения $2$ и максимального значения $6$ при некоторых значениях $x$ из своей области определения.
3. Так как область определения является открытым интервалом, а область значений — замкнутым отрезком, функция не может быть монотонной. Она должна достигать своего минимума и максимума во внутренних точках интервала $(-5; 3)$.
4. Построим кривую, имеющую локальный минимум и локальный максимум. Например, пусть функция достигает минимума в точке $(-2, 2)$ и максимума в точке $(1, 6)$. Заметим, что $x=-2$ и $x=1$ принадлежат интервалу $(-5; 3)$.
5. Теперь нужно достроить график до границ области определения. Можно нарисовать гладкую кривую, которая начинается в выколотой точке на прямой $x=-5$ (например, в точке $(-5, 4)$), затем опускается до точки минимума $(-2, 2)$, поднимается до точки максимума $(1, 6)$ и затем опускается до выколотой точки на прямой $x=3$ (например, до точки $(3, 5)$).
6. Построенный график удовлетворяет всем условиям: область его определения — это интервал $x \in (-5; 3)$; наименьшее значение функции равно $2$, а наибольшее равно $6$, и по теореме о промежуточном значении для непрерывной функции все значения между $2$ и $6$ также принимаются. Следовательно, область значений — это отрезок $[2; 6]$.

Ответ: Графиком функции может служить кривая, которая имеет выколотые концы (например, в точках $(-5, 4)$ и $(3, 5)$), достигает своего минимума в точке $(-2, 2)$ и максимума в точке $(1, 6)$.