Страница 30 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

48. — В одной и той же системе координат постройте графики функций:

a) $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x} + 2$, $y = \frac{1}{x-2}$;

б) $y = \cos x$, $y = \cos x - 3$, $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

в) $y = -x^2$, $y = 4 - x^2$, $y = -(x - 2)^2$;

г) $y = \sin x$, $y = \sin x + 2$, $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

а) Построение графиков функций $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x} + 2$, $y = \frac{1}{x-2}$

Все три графика строятся на основе базового графика функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. Для построения можно использовать контрольные точки: $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(0.5, 2)$, $(-1, -1)$, $(-2, -0.5)$, $(-0.5, -2)$.

2. График функции $y = \frac{1}{x} + 2$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх. Каждая точка графика $y = \frac{1}{x}$ смещается на 2 вверх. Вертикальная асимптота остается прежней ($x=0$), а горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

3. График функции $y = \frac{1}{x-2}$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. Каждая точка графика $y = \frac{1}{x}$ смещается на 2 вправо. Горизонтальная асимптота остается прежней ($y=0$), а вертикальная асимптота смещается на 2 единицы вправо и становится прямой $x=2$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится гипербола $y = \frac{1}{x}$. Затем, для получения графика $y = \frac{1}{x} + 2$, исходная гипербола сдвигается на 2 единицы вверх. Для получения графика $y = \frac{1}{x-2}$, исходная гипербола сдвигается на 2 единицы вправо.

б) Построение графиков функций $y = \cos x$, $y = \cos x - 3$, $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

Все три графика являются косинусоидами и строятся на основе базового графика $y = \cos x$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = \cos x$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Амплитуда равна 1, область значений $[-1, 1]$. График проходит через ключевые точки: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. График функции $y = \cos x - 3$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз. Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на 3 вниз. Область значений становится $[-1-3, 1-3]$, то есть $[-4, -2]$. Ось симметрии графика смещается с $y=0$ на $y=-3$.

3. График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево (фазовый сдвиг). Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на $\frac{\pi}{4}$ влево. Например, максимум функции, который был в точке $(0, 1)$, теперь будет в точке $(-\frac{\pi}{4}, 1)$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится косинусоида $y = \cos x$. Затем, для получения графика $y = \cos x - 3$, исходная косинусоида сдвигается на 3 единицы вниз. Для получения графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$, исходная косинусоида сдвигается на $\frac{\pi}{4}$ влево.

в) Построение графиков функций $y = -x^2$, $y = 4 - x^2$, $y = -(x-2)^2$

Все три графика являются параболами и строятся на основе базового графика $y = -x^2$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$. Ось симметрии - ось $Oy$ ($x=0$). Контрольные точки: $(1, -1)$, $(-1, -1)$, $(2, -4)$, $(-2, -4)$.

2. График функции $y = 4 - x^2$. Эту функцию можно записать как $y = -x^2 + 4$. График получается из графика $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вверх. Вершина параболы смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

3. График функции $y = -(x-2)^2$. Этот график получается из графика $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на 2 единицы вправо. Вершина параболы смещается из $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится парабола $y = -x^2$ с вершиной в начале координат и ветвями вниз. Затем, для получения графика $y = 4 - x^2$, исходная парабола сдвигается на 4 единицы вверх. Для получения графика $y = -(x-2)^2$, исходная парабола сдвигается на 2 единицы вправо.

г) Построение графиков функций $y = \sin x$, $y = \sin x + 2$, $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$

Все три графика являются синусоидами и строятся на основе базового графика $y = \sin x$ с помощью преобразований сдвига.

1. Базовый график: $y = \sin x$. Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Амплитуда равна 1, область значений $[-1, 1]$. График проходит через начало координат и ключевые точки: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. График функции $y = \sin x + 2$. Этот график получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вверх. Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 2 вверх. Область значений становится $[-1+2, 1+2]$, то есть $[1, 3]$. Ось симметрии графика смещается с $y=0$ на $y=2$.

3. График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево (фазовый сдвиг). Каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на $\frac{\pi}{3}$ влево. Например, точка $(0, 0)$ переходит в точку $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, а максимум из точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.

Ответ: Для построения графиков в одной системе координат сначала строится синусоида $y = \sin x$. Затем, для получения графика $y = \sin x + 2$, исходная синусоида сдвигается на 2 единицы вверх. Для получения графика $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$, исходная синусоида сдвигается на $\frac{\pi}{3}$ влево.

Постройте графики функций (49–50).

49. а) $y = \frac{1}{x-3}$;

б) $y = (x - 2)^2 - 4$;

в) $y = 1 - (x + 2)^2$;

г) $y = 2 + \frac{1}{x}$.

а) $y = \frac{1}{x-3}$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \frac{1}{x}$. Ее график — гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. Асимптоты этой гиперболы — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Функция $y = \frac{1}{x-3}$ получается из функции $y = \frac{1}{x}$ заменой аргумента $x$ на выражение $x-3$. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо.

Следовательно, все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=0$ также смещается на 3 единицы вправо и становится прямой $x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не меняется.

Таким образом, график функции $y = \frac{1}{x-3}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы находятся справа и слева от вертикальной асимптоты, в "новых" первой и третьей четвертях, образованных асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x-3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. График является гиперболой с асимптотами $x=3$ и $y=0$.

б) $y = (x-2)^2 - 4$

Для построения графика этой функции используем преобразования графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0), ветви которой направлены вверх.

Данная функция имеет вид $y = f(x-a) + b$, где $f(x)=x^2$, $a=2$ и $b=-4$. Преобразования выполняются последовательно:

1. Сдвиг графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = (x-2)^2$. Вершина параболы смещается в точку (2, 0).

2. Сдвиг полученного графика $y=(x-2)^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = (x-2)^2 - 4$. Вершина параболы смещается из точки (2, 0) в точку (2, -4).

Таким образом, график функции $y = (x-2)^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(2, -4)$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=2$.

Для большей точности найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = (0-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка (0, 0).

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = (x-2)^2 - 4 \Rightarrow (x-2)^2 = 4 \Rightarrow x-2 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = 0$. Точки (4, 0) и (0, 0).

Ответ: График функции $y = (x-2)^2 - 4$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 2 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -4)$, ветви направлены вверх.

в) $y = 1 - (x+2)^2$

Перепишем функцию в более удобном для анализа виде: $y = -(x+2)^2 + 1$. Для построения графика снова используем преобразования графика базовой функции $y = x^2$.

Преобразования можно выполнить в следующем порядке:

1. Сначала рассмотрим функцию $y=(x+2)^2$. Ее график получается сдвигом параболы $y=x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox ($x$ заменяется на $x+2=x-(-2)$). Вершина оказывается в точке (-2, 0).

2. Далее, рассмотрим функцию $y=-(x+2)^2$. Знак "минус" перед скобкой означает симметричное отражение графика $y=(x+2)^2$ относительно оси Ox. Ветви параболы теперь будут направлены вниз. Вершина остается в точке (-2, 0).

3. Наконец, прибавляем 1: $y = -(x+2)^2 + 1$. Это соответствует сдвигу графика $y=-(x+2)^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки (-2, 0) в точку (-2, 1).

Итак, искомый график — это парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 1 - (0+2)^2 = 1 - 4 = -3$. Точка (0, -3).

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = 1 - (x+2)^2 \Rightarrow (x+2)^2 = 1 \Rightarrow x+2 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Точки (-1, 0) и (-3, 0).

Ответ: График функции $y = 1 - (x+2)^2$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2, 1)$, ветви направлены вниз.

г) $y = 2 + \frac{1}{x}$

Для построения графика этой функции воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$. График этой функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

Перепишем функцию как $y = \frac{1}{x} + 2$. Эта запись показывает, что функция получается из $y = \frac{1}{x}$ прибавлением константы 2. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика исходной функции вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх.

Следовательно, все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ при сдвиге вверх не меняется. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

Таким образом, график функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.

Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x = -0.5$. Точка (-0.5, 0). Пересечения с осью Oy нет, так как $x \neq 0$.

Ответ: График функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ получается путем сдвига графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. График является гиперболой с асимптотами $x=0$ и $y=2$.

50.-

a) $y = 1 + 2 \sin x$;

б) $y = \sqrt{x+1} - 1$;

в) $y = 0.5 \cos x - 1$;

г) $y = 2 + \sqrt{x-1}$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = 1 + 2 \sin x$, воспользуемся известной областью значений функции синус:
$-1 \le \sin x \le 1$.
Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$-1 \cdot 2 \le 2 \sin x \le 1 \cdot 2$
$-2 \le 2 \sin x \le 2$.
Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le 1 + 2 \sin x \le 2 + 1$
$-1 \le y \le 3$.
Таким образом, область значений данной функции — это все числа от -1 до 3, включая концы.
Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

б) Для функции $y = \sqrt{x + 1} - 1$.
Сначала определим область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Теперь найдем область значений. По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения:
$\sqrt{x + 1} \ge 0$.
Вычтем 1 из обеих частей этого неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$\sqrt{x + 1} - 1 \ge 0 - 1$
$y \ge -1$.
Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.
Ответ: $E(y) = [-1; +\infty)$.

в) Чтобы найти область значений функции $y = 0,5 \cos x - 1$, используем область значений функции косинус:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части двойного неравенства на 0,5:
$-1 \cdot 0,5 \le 0,5 \cos x \le 1 \cdot 0,5$
$-0,5 \le 0,5 \cos x \le 0,5$.
Далее, вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-0,5 - 1 \le 0,5 \cos x - 1 \le 0,5 - 1$
$-1,5 \le y \le -0,5$.
Значит, область значений функции — это отрезок от -1,5 до -0,5.
Ответ: $E(y) = [-1,5; -0,5]$.

г) Для функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$.
Найдем область определения. Подкоренное выражение не может быть отрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Теперь перейдем к области значений. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен:
$\sqrt{x - 1} \ge 0$.
Прибавим 2 к обеим частям неравенства:
$2 + \sqrt{x - 1} \ge 2 + 0$
$y \ge 2$.
Таким образом, область значений функции — это все числа, которые больше или равны 2.
Ответ: $E(y) = [2; +\infty)$.

51.— Найдите значения функции:

a) $f(x) = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0, \end{cases}$ в точках $-2; -\frac{1}{3}; 0; 5;$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, \text{ если } x \ge -1, \\ 1 - x, \text{ если } x < -1, \end{cases}$ в точках $-2; -1; 0; 4;$

в) $f(x) = \begin{cases} \sin x, \text{ если } x > 0, \\ \cos x - 1, \text{ если } x \le 0, \end{cases}$ в точках $-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{6}.$

а) Для нахождения значений кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ необходимо для каждой точки определить, какому из условий ($x \ge 0$ или $x < 0$) она удовлетворяет, и подставить ее в соответствующую формулу.

При $x = -2$: так как $-2 < 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-2) = -(-2) = 2$.

При $x = -\frac{1}{3}$: так как $-\frac{1}{3} < 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-\frac{1}{3}) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

При $x = 0$: так как $0 \ge 0$, используем первую ветвь функции.
$f(0) = 0$.

При $x = 5$: так как $5 \ge 0$, используем первую ветвь функции.
$f(5) = 5$.

Ответ: $f(-2)=2$; $f(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$; $f(0)=0$; $f(5)=5$.

б) Для функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x \ge -1 \\ 1 - x, & \text{если } x < -1 \end{cases}$ действуем аналогично.

При $x = -2$: так как $-2 < -1$, используем вторую ветвь функции.
$f(-2) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

При $x = -1$: так как $-1 \ge -1$, используем первую ветвь функции.
$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

При $x = 0$: так как $0 \ge -1$, используем первую ветвь функции.
$f(0) = 0^2 - 1 = -1$.

При $x = 4$: так как $4 \ge -1$, используем первую ветвь функции.
$f(4) = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$.

Ответ: $f(-2)=3$; $f(-1)=0$; $f(0)=-1$; $f(4)=15$.

в) Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x > 0 \\ \cos x - 1, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$ находим значения в заданных точках.

При $x = -\frac{\pi}{2}$: так как $-\frac{\pi}{2} \le 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) - 1 = 0 - 1 = -1$.

При $x = -\frac{\pi}{3}$: так как $-\frac{\pi}{3} \le 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) - 1 = \cos(\frac{\pi}{3}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

При $x = 0$: так как $0 \le 0$, используем вторую ветвь функции.
$f(0) = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$.

При $x = \frac{\pi}{6}$: так как $\frac{\pi}{6} > 0$, используем первую ветвь функции.
$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $f(-\frac{\pi}{2})=-1$; $f(-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}$; $f(0)=0$; $f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$.

52.—

а) Основание $AC$ треугольника $ABC$ равно $b$, высота $BD$ равна $h$. Через точку $K$ высоты $BD$ проведена прямая, параллельная $AC$. Выразите площади фигур, на которые делит эта прямая данный треугольник, как функции от расстояния $BK = x$.

б) Радиационная мера центрального угла равна $x$, радиус круга равен $R$. Выразите площадь соответствующего сегмента как функцию от $x$.

в) Радианная мера центрального угла сектора равна $\alpha$, радиус равен $r$. Выразите периметр сектора как функцию от угла $\alpha$.

г) Прямая, параллельная диагонали квадрата, делит его на две фигуры. Задайте формулой зависимость между площадью каждой фигуры и длиной $x$ меньшего отрезка, отсекаемого данной прямой от диагонали, если сторона квадрата равна $a$.

а) Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC = b$ и высотой $BD = h$. Прямая $MN$, параллельная основанию $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а высоту $BD$ — в точке $K$. По условию, $BK = x$.

Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$, так как прямая $MN$ параллельна $AC$. Высота треугольника $MBN$, проведенная из вершины $B$, равна $BK = x$. Высота треугольника $ABC$, проведенная из той же вершины, равна $BD = h$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению их высот: $k = \frac{BK}{BD} = \frac{x}{h}$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}bh$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь меньшего треугольника $MBN$, который является одной из двух фигур, равна:

$S_1 = S_{MBN} = S_{ABC} \cdot k^2 = \frac{1}{2}bh \cdot (\frac{x}{h})^2 = \frac{bhx^2}{2h^2} = \frac{bx^2}{2h}$.

Вторая фигура — это трапеция $AMNC$. Ее площадь можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $MBN$:

$S_2 = S_{AMNC} = S_{ABC} - S_{MBN} = \frac{1}{2}bh - \frac{bx^2}{2h} = \frac{b}{2}(h - \frac{x^2}{h}) = \frac{b(h^2 - x^2)}{2h}$.

Ответ: Площадь треугольника $S_1(x) = \frac{bx^2}{2h}$, площадь трапеции $S_2(x) = \frac{b(h^2 - x^2)}{2h}$.

б) Площадь сегмента круга находится как разность площади соответствующего сектора и площади треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу.

Дано: радиус круга $R$, радианная мера центрального угла $x$.

Площадь сектора с центральным углом $x$ (в радианах) вычисляется по формуле: $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2x$.

Площадь треугольника, образованного двумя радиусами $R$ и углом $x$ между ними, вычисляется по формуле: $S_{треугольника} = \frac{1}{2}R \cdot R \cdot \sin(x) = \frac{1}{2}R^2\sin(x)$.

Следовательно, площадь сегмента $S$ как функция от $x$ равна:

$S(x) = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{1}{2}R^2x - \frac{1}{2}R^2\sin(x) = \frac{1}{2}R^2(x - \sin(x))$.

Ответ: $S(x) = \frac{1}{2}R^2(x - \sin(x))$.

в) Периметр сектора складывается из длин двух радиусов и длины дуги, ограничивающей сектор.

Дано: радиус круга $r$, радианная мера центрального угла $\alpha$.

Суммарная длина двух радиусов равна $r + r = 2r$.

Длина дуги $L$ с центральным углом $\alpha$ (в радианах) вычисляется по формуле: $L = r\alpha$.

Следовательно, периметр сектора $P$ как функция от $\alpha$ равен:

$P(\alpha) = 2r + L = 2r + r\alpha = r(2 + \alpha)$.

Ответ: $P(\alpha) = r(2 + \alpha)$.

г) Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Проведем прямую $L$, параллельную диагонали $BD$. Эта прямая пересекает другую диагональ $AC$ в точке $P$. По условию, длина меньшего из отрезков $AP$ и $CP$ равна $x$. По симметрии, неважно, к какой вершине (A или C) прямая $L$ находится ближе, результат будет одинаковым.

Пусть прямая $L$ находится ближе к вершине $A$. Тогда она отсекает от квадрата маленький треугольник $AEF$, где $E$ лежит на $AB$, а $F$ — на $AD$. Этот треугольник является прямоугольным и равнобедренным. Вторая образовавшаяся фигура — пятиугольник $EBCDF$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Прямая $EF$ параллельна его основанию $BD$. Треугольник $AEF$ подобен треугольнику $ABD$. Диагональ $AC$ пересекает $BD$ в центре квадрата $M$. Отрезок $AM$ является высотой треугольника $ABD$, проведенной к основанию $BD$. Его длина равна половине диагонали: $AM = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Отрезок $AP$ является высотой треугольника $AEF$, проведенной к основанию $EF$. Так как прямая $L$ ближе к $A$, то отрезок $AP$ короче $CP$, и по условию его длина равна $x$. Таким образом, $AP = x$. Заметим, что $x$ может принимать значения в диапазоне от $0$ до $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Коэффициент подобия треугольников $AEF$ и $ABD$ равен отношению их высот:

$k = \frac{AP}{AM} = \frac{x}{a\sqrt{2}/2} = \frac{2x}{a\sqrt{2}}$.

Площадь треугольника $ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2}a^2$.

Площадь отсекаемого треугольника $AEF$ ($S_1$) равна площади $S_{ABD}$, умноженной на квадрат коэффициента подобия:

$S_1(x) = S_{ABD} \cdot k^2 = \frac{a^2}{2} \cdot \left(\frac{2x}{a\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{4x^2}{2a^2} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{2x^2}{a^2} = x^2$.

Площадь второй фигуры, пятиугольника $EBCDF$ ($S_2$), равна разности площади квадрата и площади треугольника $AEF$:

$S_2(x) = S_{квадрата} - S_1(x) = a^2 - x^2$.

Ответ: Площади фигур равны $S_1(x) = x^2$ и $S_2(x) = a^2 - x^2$.