Страница 37 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

57.—

а) $f(x) = 3x^2 + x^4$;

б) $f(x) = x^5 \sin \frac{x}{2}$;

в) $f(x) = x^2 \cos x$;

г) $f(x) = 4x^6 - x^2$.

а) Для того чтобы исследовать функцию $f(x) = 3x^2 + x^4$ на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции). Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, является симметричной относительно начала координат.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^4$

Поскольку возведение в четную степень отрицательного числа дает положительный результат, то есть $(-x)^{2n} = x^{2n}$, получаем:

$f(-x) = 3x^2 + x^4$

Сравним полученное выражение с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) Исследуем на четность функцию $f(x) = x^5 \sin \frac{x}{2}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \sin\left(\frac{-x}{2}\right)$

Используем свойства степенной и тригонометрической функций:

1. Степенная функция с нечетным показателем является нечетной: $(-x)^5 = -x^5$.

2. Функция синус является нечетной: $\sin(-a) = -\sin(a)$. Следовательно, $\sin\left(\frac{-x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x^5) \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) = x^5 \sin\frac{x}{2}$

Сравниваем результат с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Функция является произведением двух нечетных функций ($g(x)=x^5$ и $h(x)=\sin\frac{x}{2}$), что делает ее четной. Таким образом, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) Исследуем на четность функцию $f(x) = x^2 \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)$

Используем свойства степенной и тригонометрической функций:

1. Степенная функция с четным показателем является четной: $(-x)^2 = x^2$.

2. Функция косинус является четной: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:

$f(-x) = x^2 \cos x$

Сравниваем результат с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Функция является произведением двух четных функций ($g(x)=x^2$ и $h(x)=\cos x$), что делает ее четной. Таким образом, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) Исследуем на четность функцию $f(x) = 4x^6 - x^2$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2$

Поскольку показатели степеней 6 и 2 являются четными числами, имеем:

$(-x)^6 = x^6$

$(-x)^2 = x^2$

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = 4x^6 - x^2$

Сравниваем результат с исходной функцией:

$f(-x) = f(x)$

Так как условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной.

Ответ: функция четная.

58. a) $f (x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$;

б) $f (x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$;

В) $f (x) = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{x^3}$;

г) $f (x) = \frac{\cos x^3}{4 - x^2}$.

а) Для того чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, необходимо проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция). Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos 5x + 1}{|x|}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $|x| \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|}$

3. Упростим полученное выражение. Используем свойства четности функции косинус, $\cos(-a) = \cos(a)$, и функции модуля, $|-x| = |x|$:

$f(-x) = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

3. Упростим полученное выражение. Используем свойство нечетности функции синус, $\sin(-x) = -\sin(x)$, и свойство четности квадратной функции, $(-x)^2 = x^2$.

$\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

Таким образом, выражение для $f(-x)$ принимает вид:

$f(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{2 \sin\frac{x}{2}}{x^3}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -\frac{2 \sin(\frac{-x}{2})}{(-x)^3}$

3. Упростим полученное выражение. Используем свойство нечетности функции синус, $\sin(-a) = -\sin(a)$, и свойство нечетности кубической функции, $(-x)^3 = -x^3$:

$f(-x) = -\frac{2(-\sin\frac{x}{2})}{-x^3} = -\frac{-2\sin\frac{x}{2}}{-x^3} = -\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной. (Примечание: частное двух нечетных функций $\sin(\frac{x}{2})$ и $x^3$ является четной функцией).

Ответ: функция четная.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}$.

1. Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $4 - x^2 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 4$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2}$

3. Упростим полученное выражение. Аргумент косинуса: $(-x)^3 = -x^3$. Так как косинус является четной функцией, $\cos(-a) = \cos(a)$, то $\cos(-x^3) = \cos(x^3)$. Знаменатель: $4 - (-x)^2 = 4 - x^2$.

Таким образом, выражение для $f(-x)$ принимает вид:

$f(-x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}$

4. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, данная функция является четной.

Ответ: функция четная.

Докажите, что функции являются нечетными (59—60).

59. а) $f(x) = x^3 \sin x^2$;

б) $f(x) = x^2 (2x - x^3)$;

б) $f(x) = x^5 \cos 3x$;

г) $f(x) = x (5 - x^2)$.

Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, при условии, что область определения симметрична относительно нуля. Все представленные функции определены на всей числовой оси, то есть их область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая является симметричным множеством. Следовательно, для доказательства достаточно проверить для каждой функции выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x^3 \sin x^2$.
Найдем значение функции в точке $-x$.
$f(-x) = (-x)^3 \sin((-x)^2) = (-x^3) \sin(x^2) = -x^3 \sin x^2 = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

б) $f(x) = x^5 \cos 3x$.
Найдем значение функции в точке $-x$. Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-z) = \cos(z)$.
$f(-x) = (-x)^5 \cos(3(-x)) = (-x^5) \cos(-3x) = -x^5 \cos(3x) = -(x^5 \cos 3x) = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

б) $f(x) = x^2 (2x - x^3)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $f(x) = 2x^3 - x^5$.
Найдем значение функции в точке $-x$.
$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x)^5 = 2(-x^3) - (-x^5) = -2x^3 + x^5 = -(2x^3 - x^5) = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

г) $f(x) = x (5 - x^2)$.
Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $f(x) = 5x - x^3$.
Найдем значение функции в точке $-x$.
$f(-x) = 5(-x) - (-x)^3 = -5x - (-x^3) = -5x + x^3 = -(5x - x^3) = -f(x)$.
Так как равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

60. а) $f(x) = \frac{x^4+1}{2x^3}$;

б) $f(x) = \frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}$;

в) $f(x) = \frac{3x}{x^6+2}$;

г) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2-9}$.

а)

б)

в)

г) Рис. 37

а) $f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$

Для того чтобы сопоставить функцию с ее графиком, проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $2x^3 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^4 + 1}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 1}{-2x^3} = -\frac{x^4 + 1}{2x^3} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Асимптоты. Функция имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Теперь проанализируем предложенные графики.

- Графики а), в) и г) изображают нечетные функции (симметрия относительно начала координат). - График б) изображает четную функцию (симметрия относительно оси OY). - Из нечетных графиков только график а) имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Графики в) и г) проходят через начало координат.

На основании этих ключевых признаков (нечетность и наличие вертикальной асимптоты $x=0$), мы можем заключить, что функции а) соответствует график а).

Примечание: Стоит отметить, что в задании, вероятно, есть неточности. Детальный анализ с помощью производной показывает, что локальный максимум функции $f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}$ находится в точке $x = -\sqrt[4]{3}$ и его значение отрицательно ($f(-\sqrt[4]{3}) < 0$), тогда как на графике а) локальный максимум имеет положительное значение. Тем не менее, по качественным признакам соответствие наиболее вероятно.

Ответ: Функции а) соответствует график а).

б) $f(x) = \frac{\cos x^2}{x(25 - x^2)}$

Проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель не равен нулю: $x \neq 0$ и $25 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 5$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{\cos((-x)^2)}{(-x)(25 - (-x)^2)} = \frac{\cos x^2}{-x(25 - x^2)} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

3. Асимптоты. Функция имеет вертикальные асимптоты $x=0$, $x=-5$, $x=5$.

Сравним с графиками. Все функции, кроме одной, уже сопоставлены. По методу исключения, для функции б) остается график б). Однако здесь возникает противоречие: функция б) нечетная, а график б) очевидно изображает четную функцию (он симметричен относительно оси OY).

Это указывает на серьезную ошибку в условии задачи. Если предположить, что в задании допущены опечатки, но оно все же имеет решение, то по методу исключения мы вынуждены сопоставить функцию б) и график б). Вероятнее всего, в формуле функции была допущена ошибка, которая должна была сделать ее четной (например, $f(x) = \frac{\cos x}{25 - x^2}$).

Ответ: Функции б) соответствует график б), несмотря на явное несоответствие по признаку четности/нечетности, что указывает на ошибку в условии задачи.

в) $f(x) = \frac{3x}{x^6 + 2}$

Проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель $x^6 + 2$ всегда положителен (так как $x^6 \ge 0$), поэтому он никогда не равен нулю. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^6 + 2} = \frac{-3x}{x^6 + 2} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

3. Особенности. Функция не имеет вертикальных асимптот. Она проходит через начало координат, так как $f(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^6 + 2} = 0$.

Рассмотрим графики.

- Графики в) и г) проходят через начало координат. - График в) не имеет вертикальных асимптот, в то время как график г) имеет асимптоту.

Функция в) является единственной из предложенных, которая определена на всей числовой оси и не имеет вертикальных асимптот. Этим свойствам соответствует только график в).

Ответ: Функции в) соответствует график в).

г) $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2 - 9}$

Проанализируем свойства функции.

1. Область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{(-x)^2 \sin(-x)}{(-x)^2 - 9} = \frac{x^2(-\sin x)}{x^2 - 9} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

3. Асимптоты и точки пересечения с осями. Функция имеет вертикальные асимптоты $x=-3$ и $x=3$. Она проходит через начало координат, так как $f(0) = \frac{0^2 \sin 0}{0^2 - 9} = 0$.

Среди графиков, проходящих через начало координат (в и г), только график г) имеет вертикальную асимптоту (при $x=3$). Таким образом, функция г) соответствует графику г).

Примечание: Здесь также имеется несоответствие. Для $x \in (0; 3)$ числитель $x^2 \sin x$ положителен (так как $\sin x > 0$ на $(0; \pi)$), а знаменатель $x^2 - 9$ отрицателен. Следовательно, $f(x) < 0$ на интервале $(0; 3)$. Однако на графике г) функция на этом интервале положительна. Вероятно, в формуле допущена ошибка в знаке (например, в знаменателе должно быть $9 - x^2$).

Ответ: Функции г) соответствует график г).