Страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

66. — На рисунке 38, а–г изображена часть графика функции, имеющей период $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-1.5T; 2.5T]$.

Поскольку изображения (рисунки 38, а-г) не предоставлены, в решении будут рассмотрены четыре гипотетических примера графиков, которые могли бы быть изображены. Общий принцип построения основан на свойстве периодичности функции.

Периодическая функция $f(x)$ с периодом $T$ удовлетворяет равенству $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что график функции повторяется на каждом интервале длиной $T$. Чтобы построить график на заданном промежутке $[-1,5T; 2,5T]$, мы должны взять исходный фрагмент графика (назовем его базовым паттерном) и "размножить" его, сдвигая влево и вправо на целое число периодов $T$.

а)

Предположим, на рисунке "а" изображен график функции на отрезке $[0, T]$, представляющий собой ломаную линию, соединяющую точки $(0, 0)$, $(T/2, 1)$ и $(T, 0)$. Это один "зубец" треугольной волны.

Для построения графика на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ выполним следующие действия:

1. Исходный график уже задан на $[0, T]$.
2. Чтобы получить график на $[T, 2T]$, сдвигаем базовый паттерн на $T$ вправо. Ключевые точки будут: $(T, 0)$, $(T+T/2, 1) = (1,5T, 1)$, $(T+T, 0) = (2T, 0)$.
3. Чтобы получить график на $[2T, 2,5T]$, берем первую половину базового паттерна (от $x=0$ до $x=T/2$) и сдвигаем ее на $2T$ вправо. Получим отрезок, соединяющий точки $(2T, 0)$ и $(2T+T/2, 1) = (2,5T, 1)$.
4. Чтобы получить график на $[-T, 0]$, сдвигаем базовый паттерн на $T$ влево. Ключевые точки: $(-T, 0)$, $(-T+T/2, 1) = (-0,5T, 1)$, $(-T+T, 0) = (0, 0)$.
5. Чтобы получить график на $[-1,5T, -T]$, берем вторую половину базового паттерна (от $x=T/2$ до $x=T$) и сдвигаем ее на $2T$ влево. Получим отрезок, соединяющий точки $(-2T+T/2, 1) = (-1,5T, 1)$ и $(-2T+T, 0) = (-T, 0)$.

В результате на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ график будет представлять собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки: $(-1,5T; 1)$, $(-T; 0)$, $(-0,5T; 1)$, $(0; 0)$, $(0,5T; 1)$, $(T; 0)$, $(1,5T; 1)$, $(2T; 0)$, $(2,5T; 1)$.

Ответ: График на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ — это ломаная линия, вершины которой ("пики") находятся в точках $(-1,5T; 1)$, $(-0,5T; 1)$, $(0,5T; 1)$, $(1,5T; 1)$ и $(2,5T; 1)$, а точки пересечения с осью абсцисс — в точках $(-T; 0)$, $(0; 0)$, $(T; 0)$ и $(2T; 0)$.

б)

Предположим, на рисунке "б" изображен график функции на отрезке $[-T/2, T/2]$, представляющий собой арку параболы с вершиной в точке $(0, 1)$ и пересечениями с осью $x$ в точках $(-T/2, 0)$ и $(T/2, 0)$. Формула такой функции на этом отрезке: $f(x) = 1 - \frac{4x^2}{T^2}$.

Строим график на $[-1,5T; 2,5T]$, что эквивалентно $[-3T/2; 5T/2]$.

1. Исходный график задан на $[-T/2, T/2]$.
2. Сдвигаем базовый паттерн на $T$ вправо, получаем график на $[T/2, 3T/2]$. Это будет такая же арка с вершиной в $(T, 1)$.
3. Сдвигаем базовый паттерн на $2T$ вправо, получаем график на $[3T/2, 5T/2]$. Это арка с вершиной в $(2T, 1)$.
4. Сдвигаем базовый паттерн на $T$ влево, получаем график на $[-3T/2, -T/2]$. Это арка с вершиной в $(-T, 1)$.

Итоговый график состоит из четырех полных параболических арок, соединенных друг с другом.

Ответ: График на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ состоит из четырех параболических арок. Вершины (максимумы) арок находятся в точках $(-T; 1)$, $(0; 1)$, $(T; 1)$, $(2T; 1)$. График пересекает (касается) ось абсцисс в точках $(-1,5T; 0)$, $(-0,5T; 0)$, $(0,5T; 0)$, $(1,5T; 0)$ и $(2,5T; 0)$.

в)

Предположим, на рисунке "в" изображен график кусочно-постоянной (ступенчатой) функции на полуинтервале $[0, T)$. Пусть $f(x) = -1$ при $x \in [0, T/2)$ и $f(x) = 1$ при $x \in [T/2, T)$. Из-за периодичности $f(T)=f(0)=-1$, $f(T/2)=1$. В точке $x=T/2$ происходит скачок.

Продолжим этот график на промежуток $[-1,5T; 2,5T]$.

1. На $[0, T/2)$ график — горизонтальный отрезок $y=-1$. На $[T/2, T)$ — горизонтальный отрезок $y=1$.
2. На $[T, 2T)$ график повторяется: на $[T, 1,5T)$ имеем $y=-1$, на $[1,5T, 2T)$ имеем $y=1$.
3. На $[2T, 2,5T]$ график повторяет начальную часть базового паттерна: на $[2T, 2,5T)$ имеем $y=-1$. В точке $x=2,5T$ значение функции будет $1$.
4. На $[-T, 0)$ график является сдвинутой влево на $T$ копией базового: на $[-T, -T/2)$ имеем $y=-1$, на $[-T/2, 0)$ имеем $y=1$.
5. На $[-1,5T, -T)$ график повторяет вторую половину базового паттерна, сдвинутого на $2T$ влево: на $[-1,5T, -T)$ имеем $y=1$.

Ответ: График является "лесенкой".

• Значение функции равно $1$ на промежутках $[-1,5T; -T) \cup [-0,5T; 0) \cup [0,5T; T) \cup [1,5T; 2T)$.
• Значение функции равно $-1$ на промежутках $[-T; -0,5T) \cup [0; 0,5T) \cup [T; 1,5T) \cup [2T; 2,5T]$.

В точках "скачков" $-1,5T, -0,5T, 0,5T, 1,5T, 2,5T$ значение функции равно $1$ (закрашенная точка), а предел слева равен $-1$ (выколотая точка). В точках $-T, 0, T, 2T$ значение функции равно $-1$ (закрашенная точка), а предел слева равен $1$ (выколотая точка).

г)

Предположим, на рисунке "г" изображен график функции на отрезке $[0, T]$, который является одной аркой синусоиды: $f(x) = \sin(\frac{\pi x}{T})$. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(T/2, 1)$ (вершина) и $(T, 0)$.

Этот случай очень похож на случай "а", но линии являются плавными кривыми, а не отрезками прямых. Построение полностью аналогично.

1. На $[0, T]$ имеем заданную арку синусоиды.
2. Сдвигаем ее на $T$ вправо, получаем такую же арку на $[T, 2T]$ с вершиной в $(1,5T, 1)$.
3. На $[2T, 2,5T]$ имеем первую половину арки (подъем) от $(2T, 0)$ до $(2,5T, 1)$.
4. Сдвигаем базовую арку на $T$ влево, получаем такую же арку на $[-T, 0]$ с вершиной в $(-0,5T, 1)$.
5. На $[-1,5T, -T]$ имеем вторую половину арки (спуск) от $(-1,5T, 1)$ до $(-T, 0)$.

Итоговый график — это последовательность одинаковых положительных арок синусоиды.

Ответ: График на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ представляет собой непрерывную волнистую линию, состоящую из синусоидальных арок. Точки минимума (пересечения с осью абсцисс) находятся при $x = -T, 0, T, 2T$. Точки максимума (вершины арок) находятся при $x = -1,5T, -0,5T, 0,5T, 1,5T, 2,5T$, и значение функции в этих точках равно 1.

67.— Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

а) $y = \sin 2x;$

б) $y = \cos \frac{x}{3};$

в) $y = \tan \frac{x}{2};$

г) $y = \sin 1,5x.$

a) Для функции $y = \sin 2x$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $T_0 = 2\pi$ - основной период функции $y = \sin x$.
В данном случае коэффициент $k=2$, следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

График функции $y = \sin 2x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Амплитуда колебаний остается равной 1.
Найдем ключевые точки на одном периоде $[0, \pi]$:
При $x=0$, $y=\sin(0)=0$.
При $x=\frac{\pi}{4}$, $y=\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$.
При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi)=0$.
При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.
При $x=\pi$, $y=\sin(2\pi)=0$.

Ответ: наименьший положительный период равен $\pi$.

б) Для функции $y = \cos \frac{x}{3}$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \cos(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $T_0 = 2\pi$ - основной период функции $y = \cos x$.
В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{3}$, следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

График функции $y = \cos \frac{x}{3}$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Амплитуда колебаний остается равной 1.
Найдем ключевые точки на одном периоде $[0, 6\pi]$:
При $x=0$, $y=\cos(0)=1$.
При $x=\frac{3\pi}{2}$, $y=\cos(\frac{3\pi/2}{3}) = \cos(\frac{\pi}{2})=0$.
При $x=3\pi$, $y=\cos(\frac{3\pi}{3}) = \cos(\pi)=-1$.
При $x=\frac{9\pi}{2}$, $y=\cos(\frac{9\pi/2}{3}) = \cos(\frac{3\pi}{2})=0$.
При $x=6\pi$, $y=\cos(\frac{6\pi}{3}) = \cos(2\pi)=1$.

Ответ: наименьший положительный период равен $6\pi$.

в) Для функции $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \operatorname{tg}(kx)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$, где $T_0 = \pi$ - основной период функции $y = \operatorname{tg} x$.
В данном случае коэффициент $k=\frac{1}{2}$, следовательно, наименьший положительный период равен $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

График функции $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg} x$ путем растяжения по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Вертикальные асимптоты функции $y = \operatorname{tg} u$ находятся в точках $u = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для нашей функции $u = \frac{x}{2}$, поэтому асимптоты будут при $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \pi + 2\pi n = (2n+1)\pi$.
Рассмотрим одну ветвь на интервале $(-\pi, \pi)$. Ключевые точки:
При $x = -\frac{\pi}{2}$, $y=\operatorname{tg}(\frac{-\pi/2}{2}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-1$.
При $x=0$, $y=\operatorname{tg}(0)=0$.
При $x=\frac{\pi}{2}$, $y=\operatorname{tg}(\frac{\pi/2}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})=1$.

Ответ: наименьший положительный период равен $2\pi$.

г) Для функции $y = \sin 1,5x$.

Наименьший положительный период $T$ для функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Представим коэффициент $k=1,5$ в виде дроби: $k=\frac{3}{2}$. Тогда наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|3/2|} = \frac{4\pi}{3}$.

График функции $y = \sin 1,5x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 1,5 раза. Амплитуда колебаний остается равной 1.
Найдем ключевые точки на одном периоде $[0, \frac{4\pi}{3}]$:
При $x=0$, $y=\sin(0)=0$.
При $x=\frac{\pi}{3}$, $y=\sin(1,5 \cdot \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$.
При $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=\sin(1,5 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi)=0$.
При $x=\pi$, $y=\sin(1,5 \cdot \pi) = \sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.
При $x=\frac{4\pi}{3}$, $y=\sin(1,5 \cdot \frac{4\pi}{3}) = \sin(2\pi)=0$.

Ответ: наименьший положительный период равен $\frac{4\pi}{3}$.

68. Для функции $f$ ученик проверил справедливость двух равенств и сделал вывод, что $T$ является периодом $f$. Прав ли ученик, если:

а) $f(x) = \sin x$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $T = \frac{2\pi}{3}$;

б) $f(x) = \cos x$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = 0$, $T = \pi$;

в) $f(x) = \begin{cases} x+1, \text{ если } x \leq 1, \\ 3-x, \text{ если } x > 1, \end{cases}$

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=0,5$, $f\left(-\frac{1}{2}+3\right)=0,5$, $T=3$;

г) $f(x) = x+|x|$, $f(-4)=0$, $f(-4+3)=0$, $T=3$?

а) Утверждение ученика основано на проверке равенства $f(x_0) = f(x_0+T)$ для одного конкретного значения $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Для того чтобы число $T$ являлось периодом функции, равенство $f(x+T) = f(x)$ должно выполняться для всех значений $x$ из области определения функции.
Проверка ученика: $f(\frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Значение функции в точке $x_0+T$: $f(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi+4\pi}{6}) = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Для данной точки равенство выполняется.
Однако, это не доказывает, что $T=\frac{2\pi}{3}$ является периодом. Найдем контрпример. Возьмем $x=0$:
$f(0) = \sin 0 = 0$.
$f(0 + \frac{2\pi}{3}) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $f(0) \neq f(0+T)$, то есть $0 \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, число $T = \frac{2\pi}{3}$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$. Таким образом, ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

б) Ученик проверил равенство для точки $x = \frac{\pi}{2}$ и $T=\pi$ для функции $f(x)=\cos x$.
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
$f(\frac{\pi}{2} + \pi) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
Для этой точки равенство $f(x)=f(x+T)$ выполняется. Однако, как и в предыдущем пункте, этого недостаточно.
Проверим для другой точки, например, $x=0$:
$f(0) = \cos 0 = 1$.
$f(0 + \pi) = \cos \pi = -1$.
Так как $1 \neq -1$, равенство не выполняется для всех $x$. На самом деле, верна формула $\cos(x+\pi) = -\cos x$, то есть равенство $\cos(x+\pi)=\cos x$ выполняется только для тех $x$, где $\cos x = 0$. Следовательно, $T = \pi$ не является периодом функции $f(x)=\cos x$, и ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

в) Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \le 1 \\ 3-x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ и предполагаемый период $T=3$.
Ученик проверил равенство для $x = -\frac{1}{2}$:
Поскольку $-\frac{1}{2} \le 1$, то $f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + 1 = 0,5$.
Точка $x+T = -\frac{1}{2} + 3 = 2,5$. Поскольку $2,5 > 1$, то $f(2,5) = 3 - 2,5 = 0,5$.
Равенство для данной точки выполняется.
Проверим для другой точки, например, $x=0$:
Поскольку $0 \le 1$, то $f(0) = 0+1=1$.
Точка $x+T = 0+3=3$. Поскольку $3 > 1$, то $f(3) = 3-3=0$.
Так как $f(0) \neq f(0+3)$ ($1 \neq 0$), число $T=3$ не является периодом функции. Ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

г) Дана функция $f(x) = x+|x|$ и предполагаемый период $T=3$. Эту функцию можно записать в виде: $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 2x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Ученик проверил равенство для $x=-4$:
Поскольку $-4 < 0$, то $f(-4)=0$.
Точка $x+T = -4+3=-1$. Поскольку $-1 < 0$, то $f(-1)=0$.
Равенство для данной точки выполняется.
Проверим для другой точки, например, $x=1$:
Поскольку $1 \ge 0$, то $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
Точка $x+T = 1+3=4$. Поскольку $4 \ge 0$, то $f(4) = 2 \cdot 4 = 8$.
Так как $f(1) \neq f(1+3)$ ($2 \neq 8$), число $T=3$ не является периодом функции. Ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

Какие из указанных ниже функций являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными (69—70)?

69.—

a) $y = \sin x + \operatorname{ctg} x - x$;

б) $y = \frac{|x|}{\sin x \cos x}$;

в) $y = x^4 + \operatorname{tg}^2 x + x \sin x$;

г) $y = -\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.

а) Рассмотрим функцию $y(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x - x$.
Область определения данной функции $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых $\operatorname{ctg} x$ определен, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x) - (-x)$
Используя свойства нечетности синуса и котангенса ($\sin(-x) = -\sin x$, $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем:
$y(-x) = -\sin x - \operatorname{ctg} x + x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x - x) = -y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

б) Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{|x|}{\sin x \cos x}$.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых знаменатель не равен нулю: $\sin x \cos x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\frac{1}{2}\sin(2x) \neq 0$, то есть $2x \neq \pi k$, или $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x|}{\sin(-x) \cos(-x)}$
Используя свойства четности модуля ($\left|-x\right|=\left|x\right|$), нечетности синуса ($\sin(-x)=-\sin x$) и четности косинуса ($\cos(-x)=\cos x$), получаем:
$y(-x) = \frac{|x|}{(-\sin x) \cos x} = -\frac{|x|}{\sin x \cos x} = -y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

в) Рассмотрим функцию $y(x) = x^4 + \operatorname{tg}^2 x + x \sin x$.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых $\operatorname{tg} x$ определен, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^4 + \operatorname{tg}^2(-x) + (-x)\sin(-x)$.
Проанализируем каждое слагаемое:
1. $(-x)^4 = x^4$ (четная степень).
2. $\operatorname{tg}^2(-x) = (\operatorname{tg}(-x))^2 = (-\operatorname{tg} x)^2 = \operatorname{tg}^2 x$ (квадрат нечетной функции есть функция четная).
3. $(-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x$ (произведение двух нечетных функций есть функция четная).
Таким образом, $y(-x) = x^4 + \operatorname{tg}^2 x + x \sin x = y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

г) Рассмотрим функцию $y(x) = -\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых определены $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, и знаменатель не равен нулю. Это означает, что $\cos x \neq 0$, $\sin x \neq 0$ и $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = -\frac{\operatorname{tg}(-x) - \operatorname{ctg}(-x)}{|-x|}$
Используя свойства нечетности тангенса и котангенса и четности модуля, получаем:
$y(-x) = -\frac{(-\operatorname{tg} x) - (-\operatorname{ctg} x)}{|x|} = -\frac{-\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}{|x|} = -\frac{-(\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x)}{|x|} = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.
Сравним полученное выражение с $-y(x)$:
$-y(x) = - \left( -\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|} \right) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.
Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

70.—

a) $y = \frac{\sin x}{x^3 - 1};$

б) $y = \frac{x + \sin x}{x - \sin x};$

В) $y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 - x};$

Г) $y = \frac{x + \operatorname{tg} x}{x \cos x}.$

а) Область определения функции $y = \frac{\sin x}{x^3 - 1}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^3 - 1 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

б) Область определения функции $y = \frac{x + \sin x}{x - \sin x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - \sin x = 0$

$x = \sin x$

Рассмотрим функции $f(x) = x$ и $g(x) = \sin x$. Уравнение имеет единственный корень $x=0$. Это можно доказать, рассмотрев производную функции $h(x) = x - \sin x$. $h'(x) = 1 - \cos x$. Так как $\cos x \le 1$, то $h'(x) \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является неубывающей. Равенство $h'(x)=0$ достигается только в точках $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как производная не равна нулю на каком-либо интервале, функция является строго возрастающей и может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Поскольку $h(0) = 0 - \sin 0 = 0$, единственным решением является $x=0$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль только при $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

в) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1-x \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$1-x^2 \ge 0$

$(1-x)(1+x) \ge 0$

Это неравенство выполняется для $x \in [-1; 1]$.

Решим второе условие:

$1-x \neq 0$

$x \neq 1$

Объединяя оба условия, мы должны исключить точку $x=1$ из отрезка $[-1; 1]$. Получаем полуинтервал.

Ответ: $D(y) = [-1; 1)$

г) Область определения функции $y = \frac{x + \tg x}{x \cos x}$ определяется условиями:

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \cos x \neq 0$.

2. Тангенс должен быть определен. Функция $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда ее знаменатель $\cos x \neq 0$.

Оба условия сводятся к системе неравенств:

$\begin{cases} x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение $\cos x = 0$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x=0$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.

Ответ: $x \neq 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

71. Докажите, что данная функция является четной или нечетной, и постройте ее график:

а) $y = \frac{1}{x^2}$;

б) $y = \frac{1}{x^3}$.

а) $y = \frac{1}{x^2}$

1. Доказательство четности.
Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.
Область определения функции $y = \frac{1}{x^2}$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2}$
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

2. Построение графика.
Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Поэтому достаточно построить ветвь графика для $x > 0$ и затем симметрично отразить ее относительно оси OY.
Свойства функции и ключевые точки:

• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0$, $y \to +\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
• Значения функции: Так как $x^2 \ge 0$, то $y = \frac{1}{x^2} > 0$ для всех $x$ из области определения. График целиком лежит выше оси OX.
• Таблица значений для $x > 0$:

  $x$	1/2	1	2
  $y$	4	1	1/4

Описание графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и втором квадрантах. Ветви симметричны относительно оси OY. При приближении $x$ к нулю с любой стороны, $y$ стремится к $+\infty$. При стремлении $x$ к $\pm\infty$, $y$ стремится к нулю, приближаясь к оси OX.

Ответ: функция является четной.

б) $y = \frac{1}{x^3}$

1. Доказательство нечетности.
Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Область определения функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = \frac{1}{-x^3} = -\frac{1}{x^3}$
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

2. Построение графика.
Поскольку функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат O(0,0). Поэтому достаточно построить ветвь графика для $x > 0$ и затем симметрично отразить ее относительно начала координат.
Свойства функции и ключевые точки:

• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0+$, $y \to +\infty$. При $x \to 0-$, $y \to -\infty$.
  • Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
• Значения функции: Если $x > 0$, то $y > 0$ (первый квадрант). Если $x < 0$, то $y < 0$ (третий квадрант).
• Таблица значений для $x > 0$:

  $x$	1/2	1	2
  $y$	8	1	1/8

Описание графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем квадрантах, и он симметричен относительно начала координат. Ветвь в первом квадранте начинается от $+\infty$ вблизи оси OY и приближается к оси OX при $x \to +\infty$. Ветвь в третьем квадранте приближается к оси OX при $x \to -\infty$ и уходит на $-\infty$ вблизи оси OY.

Ответ: функция является нечетной.

72. Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция $h$ четной или нечетной, если:

а) $h(x) = f(x) g^2(x)$, $f$ — четная функция, $g$ — нечетная;

б) $h(x) = f(x) - g(x)$, $f$ и $g$ — четные функции;

в) $h(x) = f(x) + g(x)$, $f$ и $g$ — нечетные функции;

г) $h(x) = f(x) g(x)$, $f$ и $g$ — нечетные функции?

а) Для того чтобы определить, является ли функция $h(x) = f(x)g^2(x)$ четной или нечетной, необходимо найти значение $h(-x)$.
По условию, $f$ — четная функция, следовательно, $f(-x) = f(x)$.
Функция $g$ — нечетная, следовательно, $g(-x) = -g(x)$.
Вычислим $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x)g^2(-x) = f(-x)(g(-x))^2$.
Подставим свойства функций $f$ и $g$:
$h(-x) = f(x)(-g(x))^2 = f(x)g^2(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является четной.
Ответ: четная.

б) Для функции $h(x) = f(x) - g(x)$, где $f$ и $g$ — четные функции, выполняются равенства $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - g(x) = h(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является четной.
Ответ: четная.

в) Для функции $h(x) = f(x) + g(x)$, где $f$ и $g$ — нечетные функции, выполняются равенства $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -h(x)$.
Так как $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечетной.
Ответ: нечетная.

г) Для функции $h(x) = f(x)g(x)$, где $f$ и $g$ — нечетные функции, выполняются равенства $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.
Найдем $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = h(x)$.
Так как $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является четной.
Ответ: четная.