Номер 66, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 66, страница 39.

Условие.

66. — На рисунке 38, а–г изображена часть графика функции, имеющей период $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-1.5T; 2.5T]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Поскольку изображения (рисунки 38, а-г) не предоставлены, в решении будут рассмотрены четыре гипотетических примера графиков, которые могли бы быть изображены. Общий принцип построения основан на свойстве периодичности функции.

Периодическая функция $f(x)$ с периодом $T$ удовлетворяет равенству $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что график функции повторяется на каждом интервале длиной $T$. Чтобы построить график на заданном промежутке $[-1,5T; 2,5T]$, мы должны взять исходный фрагмент графика (назовем его базовым паттерном) и "размножить" его, сдвигая влево и вправо на целое число периодов $T$.

а)

Предположим, на рисунке "а" изображен график функции на отрезке $[0, T]$, представляющий собой ломаную линию, соединяющую точки $(0, 0)$, $(T/2, 1)$ и $(T, 0)$. Это один "зубец" треугольной волны.

Для построения графика на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ выполним следующие действия:

1. Исходный график уже задан на $[0, T]$.
2. Чтобы получить график на $[T, 2T]$, сдвигаем базовый паттерн на $T$ вправо. Ключевые точки будут: $(T, 0)$, $(T+T/2, 1) = (1,5T, 1)$, $(T+T, 0) = (2T, 0)$.
3. Чтобы получить график на $[2T, 2,5T]$, берем первую половину базового паттерна (от $x=0$ до $x=T/2$) и сдвигаем ее на $2T$ вправо. Получим отрезок, соединяющий точки $(2T, 0)$ и $(2T+T/2, 1) = (2,5T, 1)$.
4. Чтобы получить график на $[-T, 0]$, сдвигаем базовый паттерн на $T$ влево. Ключевые точки: $(-T, 0)$, $(-T+T/2, 1) = (-0,5T, 1)$, $(-T+T, 0) = (0, 0)$.
5. Чтобы получить график на $[-1,5T, -T]$, берем вторую половину базового паттерна (от $x=T/2$ до $x=T$) и сдвигаем ее на $2T$ влево. Получим отрезок, соединяющий точки $(-2T+T/2, 1) = (-1,5T, 1)$ и $(-2T+T, 0) = (-T, 0)$.

В результате на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ график будет представлять собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки: $(-1,5T; 1)$, $(-T; 0)$, $(-0,5T; 1)$, $(0; 0)$, $(0,5T; 1)$, $(T; 0)$, $(1,5T; 1)$, $(2T; 0)$, $(2,5T; 1)$.

Ответ: График на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ — это ломаная линия, вершины которой ("пики") находятся в точках $(-1,5T; 1)$, $(-0,5T; 1)$, $(0,5T; 1)$, $(1,5T; 1)$ и $(2,5T; 1)$, а точки пересечения с осью абсцисс — в точках $(-T; 0)$, $(0; 0)$, $(T; 0)$ и $(2T; 0)$.

б)

Предположим, на рисунке "б" изображен график функции на отрезке $[-T/2, T/2]$, представляющий собой арку параболы с вершиной в точке $(0, 1)$ и пересечениями с осью $x$ в точках $(-T/2, 0)$ и $(T/2, 0)$. Формула такой функции на этом отрезке: $f(x) = 1 - \frac{4x^2}{T^2}$.

Строим график на $[-1,5T; 2,5T]$, что эквивалентно $[-3T/2; 5T/2]$.

1. Исходный график задан на $[-T/2, T/2]$.
2. Сдвигаем базовый паттерн на $T$ вправо, получаем график на $[T/2, 3T/2]$. Это будет такая же арка с вершиной в $(T, 1)$.
3. Сдвигаем базовый паттерн на $2T$ вправо, получаем график на $[3T/2, 5T/2]$. Это арка с вершиной в $(2T, 1)$.
4. Сдвигаем базовый паттерн на $T$ влево, получаем график на $[-3T/2, -T/2]$. Это арка с вершиной в $(-T, 1)$.

Итоговый график состоит из четырех полных параболических арок, соединенных друг с другом.

Ответ: График на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ состоит из четырех параболических арок. Вершины (максимумы) арок находятся в точках $(-T; 1)$, $(0; 1)$, $(T; 1)$, $(2T; 1)$. График пересекает (касается) ось абсцисс в точках $(-1,5T; 0)$, $(-0,5T; 0)$, $(0,5T; 0)$, $(1,5T; 0)$ и $(2,5T; 0)$.

в)

Предположим, на рисунке "в" изображен график кусочно-постоянной (ступенчатой) функции на полуинтервале $[0, T)$. Пусть $f(x) = -1$ при $x \in [0, T/2)$ и $f(x) = 1$ при $x \in [T/2, T)$. Из-за периодичности $f(T)=f(0)=-1$, $f(T/2)=1$. В точке $x=T/2$ происходит скачок.

Продолжим этот график на промежуток $[-1,5T; 2,5T]$.

1. На $[0, T/2)$ график — горизонтальный отрезок $y=-1$. На $[T/2, T)$ — горизонтальный отрезок $y=1$.
2. На $[T, 2T)$ график повторяется: на $[T, 1,5T)$ имеем $y=-1$, на $[1,5T, 2T)$ имеем $y=1$.
3. На $[2T, 2,5T]$ график повторяет начальную часть базового паттерна: на $[2T, 2,5T)$ имеем $y=-1$. В точке $x=2,5T$ значение функции будет $1$.
4. На $[-T, 0)$ график является сдвинутой влево на $T$ копией базового: на $[-T, -T/2)$ имеем $y=-1$, на $[-T/2, 0)$ имеем $y=1$.
5. На $[-1,5T, -T)$ график повторяет вторую половину базового паттерна, сдвинутого на $2T$ влево: на $[-1,5T, -T)$ имеем $y=1$.

Ответ: График является "лесенкой".

• Значение функции равно $1$ на промежутках $[-1,5T; -T) \cup [-0,5T; 0) \cup [0,5T; T) \cup [1,5T; 2T)$.
• Значение функции равно $-1$ на промежутках $[-T; -0,5T) \cup [0; 0,5T) \cup [T; 1,5T) \cup [2T; 2,5T]$.

В точках "скачков" $-1,5T, -0,5T, 0,5T, 1,5T, 2,5T$ значение функции равно $1$ (закрашенная точка), а предел слева равен $-1$ (выколотая точка). В точках $-T, 0, T, 2T$ значение функции равно $-1$ (закрашенная точка), а предел слева равен $1$ (выколотая точка).

г)

Предположим, на рисунке "г" изображен график функции на отрезке $[0, T]$, который является одной аркой синусоиды: $f(x) = \sin(\frac{\pi x}{T})$. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(T/2, 1)$ (вершина) и $(T, 0)$.

Этот случай очень похож на случай "а", но линии являются плавными кривыми, а не отрезками прямых. Построение полностью аналогично.

1. На $[0, T]$ имеем заданную арку синусоиды.
2. Сдвигаем ее на $T$ вправо, получаем такую же арку на $[T, 2T]$ с вершиной в $(1,5T, 1)$.
3. На $[2T, 2,5T]$ имеем первую половину арки (подъем) от $(2T, 0)$ до $(2,5T, 1)$.
4. Сдвигаем базовую арку на $T$ влево, получаем такую же арку на $[-T, 0]$ с вершиной в $(-0,5T, 1)$.
5. На $[-1,5T, -T]$ имеем вторую половину арки (спуск) от $(-1,5T, 1)$ до $(-T, 0)$.

Итоговый график — это последовательность одинаковых положительных арок синусоиды.

Ответ: График на промежутке $[-1,5T; 2,5T]$ представляет собой непрерывную волнистую линию, состоящую из синусоидальных арок. Точки минимума (пересечения с осью абсцисс) находятся при $x = -T, 0, T, 2T$. Точки максимума (вершины арок) находятся при $x = -1,5T, -0,5T, 0,5T, 1,5T, 2,5T$, и значение функции в этих точках равно 1.