Номер 69, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 69, страница 39.

Условие.

Какие из указанных ниже функций являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными (69—70)?

69.—

a) $y = \sin x + \operatorname{ctg} x - x$;

б) $y = \frac{|x|}{\sin x \cos x}$;

в) $y = x^4 + \operatorname{tg}^2 x + x \sin x$;

г) $y = -\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим функцию $y(x) = \sin x + \operatorname{ctg} x - x$.
Область определения данной функции $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых $\operatorname{ctg} x$ определен, то есть $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \sin(-x) + \operatorname{ctg}(-x) - (-x)$
Используя свойства нечетности синуса и котангенса ($\sin(-x) = -\sin x$, $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем:
$y(-x) = -\sin x - \operatorname{ctg} x + x = -(\sin x + \operatorname{ctg} x - x) = -y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

б) Рассмотрим функцию $y(x) = \frac{|x|}{\sin x \cos x}$.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых знаменатель не равен нулю: $\sin x \cos x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\frac{1}{2}\sin(2x) \neq 0$, то есть $2x \neq \pi k$, или $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = \frac{|-x|}{\sin(-x) \cos(-x)}$
Используя свойства четности модуля ($\left|-x\right|=\left|x\right|$), нечетности синуса ($\sin(-x)=-\sin x$) и четности косинуса ($\cos(-x)=\cos x$), получаем:
$y(-x) = \frac{|x|}{(-\sin x) \cos x} = -\frac{|x|}{\sin x \cos x} = -y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

в) Рассмотрим функцию $y(x) = x^4 + \operatorname{tg}^2 x + x \sin x$.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых $\operatorname{tg} x$ определен, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = (-x)^4 + \operatorname{tg}^2(-x) + (-x)\sin(-x)$.
Проанализируем каждое слагаемое:
1. $(-x)^4 = x^4$ (четная степень).
2. $\operatorname{tg}^2(-x) = (\operatorname{tg}(-x))^2 = (-\operatorname{tg} x)^2 = \operatorname{tg}^2 x$ (квадрат нечетной функции есть функция четная).
3. $(-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x$ (произведение двух нечетных функций есть функция четная).
Таким образом, $y(-x) = x^4 + \operatorname{tg}^2 x + x \sin x = y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

г) Рассмотрим функцию $y(x) = -\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.
Область определения $D(y)$ — все действительные числа $x$, для которых определены $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, и знаменатель не равен нулю. Это означает, что $\cos x \neq 0$, $\sin x \neq 0$ и $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число. Данная область определения симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$y(-x) = -\frac{\operatorname{tg}(-x) - \operatorname{ctg}(-x)}{|-x|}$
Используя свойства нечетности тангенса и котангенса и четности модуля, получаем:
$y(-x) = -\frac{(-\operatorname{tg} x) - (-\operatorname{ctg} x)}{|x|} = -\frac{-\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}{|x|} = -\frac{-(\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x)}{|x|} = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.
Сравним полученное выражение с $-y(x)$:
$-y(x) = - \left( -\frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|} \right) = \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x}{|x|}$.
Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.