Номер 70, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 70, страница 39.

Условие.

70.—

a) $y = \frac{\sin x}{x^3 - 1};$

б) $y = \frac{x + \sin x}{x - \sin x};$

В) $y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 - x};$

Г) $y = \frac{x + \operatorname{tg} x}{x \cos x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Область определения функции $y = \frac{\sin x}{x^3 - 1}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^3 - 1 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

б) Область определения функции $y = \frac{x + \sin x}{x - \sin x}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - \sin x = 0$

$x = \sin x$

Рассмотрим функции $f(x) = x$ и $g(x) = \sin x$. Уравнение имеет единственный корень $x=0$. Это можно доказать, рассмотрев производную функции $h(x) = x - \sin x$. $h'(x) = 1 - \cos x$. Так как $\cos x \le 1$, то $h'(x) \ge 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является неубывающей. Равенство $h'(x)=0$ достигается только в точках $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как производная не равна нулю на каком-либо интервале, функция является строго возрастающей и может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Поскольку $h(0) = 0 - \sin 0 = 0$, единственным решением является $x=0$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль только при $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

в) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1-x \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$1-x^2 \ge 0$

$(1-x)(1+x) \ge 0$

Это неравенство выполняется для $x \in [-1; 1]$.

Решим второе условие:

$1-x \neq 0$

$x \neq 1$

Объединяя оба условия, мы должны исключить точку $x=1$ из отрезка $[-1; 1]$. Получаем полуинтервал.

Ответ: $D(y) = [-1; 1)$

г) Область определения функции $y = \frac{x + \tg x}{x \cos x}$ определяется условиями:

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \cos x \neq 0$.

2. Тангенс должен быть определен. Функция $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда ее знаменатель $\cos x \neq 0$.

Оба условия сводятся к системе неравенств:

$\begin{cases} x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение $\cos x = 0$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x=0$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.

Ответ: $x \neq 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$