Номер 65, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 65, страница 38.
№65 (с. 38)
Условие. №65 (с. 38)
скриншот условия

65.- а) $y = \sin x \cos x$; б) $y = \sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x$;
В) $y = \sin^2 x - \cos^2 x$; г) $y = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x.$
a) б) в) г) Рис. 38
Решение 1. №65 (с. 38)

Решение 3. №65 (с. 38)


Решение 4. №65 (с. 38)

Решение 5. №65 (с. 38)
Для решения данной задачи необходимо сначала упростить тригонометрические выражения для каждой функции, а затем сопоставить их свойства (четность, значение в нуле, общий вид) с представленными графиками. В исходном условии, по-видимому, содержатся опечатки, так как прямое сопоставление невозможно. Решение будет основано на исправлении наиболее вероятных опечаток и логическом сопоставлении.
а) $y = \sin x \cos x$
Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$.
$y = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
Это нечетная функция, так как $y(-x) = \frac{1}{2}\sin(2(-x)) = -\frac{1}{2}\sin(2x) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x=0$, $y=0$.
Из представленных графиков только график в) является нечетным. Однако, у нас есть две нечетные функции (а) и (г)). График а) является четной функцией ($y(-x)=y(x)$), так как он симметричен относительно оси OY. Прямого соответствия нет.
Чтобы найти соответствие, предположим, что для функции (а) на графике изображен ее модуль: $y = |\frac{1}{2} \sin(2x)|$. Эта функция является четной и $y(0)=0$. Этим свойствам удовлетворяет график а). Форма графика в виде буквы V является линейной аппроксимацией формы функции $|\sin(kx)|$ вблизи нуля.
Следовательно, функция (а) соответствует графику а).
Ответ: График а).
б) $y = \sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x$
Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
$y = -(\cos x \cos 4x - \sin x \sin 4x) = -\cos(x+4x) = -\cos(5x)$.
Это четная функция, так как $y(-x) = -\cos(5(-x)) = -\cos(5x) = y(x)$.
При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$.
Ни один из четных графиков (а, б, г) не имеет отрицательного значения в точке $x=0$. Предположим, в формуле допущена опечатка со знаком, и правильная функция: $y = \cos x \cos 4x - \sin x \sin 4x = \cos(x-4x) = \cos(-3x) = \cos(3x)$ или $y = \cos(4x-x) = \cos(3x)$. Или же $y=-(\sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x) = \cos(5x)$. В обоих случаях ($y=\cos(3x)$ или $y=\cos(5x)$) при $x=0$ значение функции равно 1.
Рассмотрим функцию $y=\cos(5x)$. Ее график — косинусоида. График г) представляет собой треугольную волну, которая является кусочно-линейной аппроксимацией косинусоиды. Обе функции четные и имеют максимум в $x=0$.
Таким образом, функция (б) (с исправленным знаком) соответствует графику г).
Ответ: График г).
в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.
Это четная функция. При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$.
Как и в случае (б), мы сталкиваемся с несоответствием знака. Предположим, что и здесь имеется опечатка, и правильная функция $y = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.
Функция $y=\cos(2x)$ — четная, при $x=0$ ее значение равно 1. Ее график — гладкая кривая (косинусоида).
График б) является четной функцией, имеет максимум в $x=0$ и представляет собой гладкую кривую, похожую на арку косинусоиды. Этот график идеально соответствует функции $y=\cos(2x)$ на отрезке $[-\pi/4, \pi/4]$ (если предположить, что $T/2 = \pi/4$).
Следовательно, функция (в) (с исправленным знаком) соответствует графику б).
Ответ: График б).
г) $y = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x$
Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
$y = \sin(3x+x) = \sin(4x)$.
Это нечетная функция, так как $y(-x) = \sin(4(-x)) = -\sin(4x) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x=0$, $y=0$.
Единственный нечетный график — это график в). Он проходит через начало координат и симметричен относительно него. Форма графика также соответствует синусоиде на интервале возрастания.
Следовательно, функция (г) соответствует графику в).
Ответ: График в).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 65 расположенного на странице 38 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №65 (с. 38), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.