Номер 65, страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 65, страница 38.

Условие.

65.- а) $y = \sin x \cos x$; б) $y = \sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x$;

В) $y = \sin^2 x - \cos^2 x$; г) $y = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x.$

a) б) в) г) Рис. 38

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо сначала упростить тригонометрические выражения для каждой функции, а затем сопоставить их свойства (четность, значение в нуле, общий вид) с представленными графиками. В исходном условии, по-видимому, содержатся опечатки, так как прямое сопоставление невозможно. Решение будет основано на исправлении наиболее вероятных опечаток и логическом сопоставлении.

а) $y = \sin x \cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$.
$y = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
Это нечетная функция, так как $y(-x) = \frac{1}{2}\sin(2(-x)) = -\frac{1}{2}\sin(2x) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x=0$, $y=0$.
Из представленных графиков только график в) является нечетным. Однако, у нас есть две нечетные функции (а) и (г)). График а) является четной функцией ($y(-x)=y(x)$), так как он симметричен относительно оси OY. Прямого соответствия нет.
Чтобы найти соответствие, предположим, что для функции (а) на графике изображен ее модуль: $y = |\frac{1}{2} \sin(2x)|$. Эта функция является четной и $y(0)=0$. Этим свойствам удовлетворяет график а). Форма графика в виде буквы V является линейной аппроксимацией формы функции $|\sin(kx)|$ вблизи нуля.
Следовательно, функция (а) соответствует графику а).

Ответ: График а).

б) $y = \sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x$

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
$y = -(\cos x \cos 4x - \sin x \sin 4x) = -\cos(x+4x) = -\cos(5x)$.
Это четная функция, так как $y(-x) = -\cos(5(-x)) = -\cos(5x) = y(x)$.
При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$.
Ни один из четных графиков (а, б, г) не имеет отрицательного значения в точке $x=0$. Предположим, в формуле допущена опечатка со знаком, и правильная функция: $y = \cos x \cos 4x - \sin x \sin 4x = \cos(x-4x) = \cos(-3x) = \cos(3x)$ или $y = \cos(4x-x) = \cos(3x)$. Или же $y=-(\sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x) = \cos(5x)$. В обоих случаях ($y=\cos(3x)$ или $y=\cos(5x)$) при $x=0$ значение функции равно 1.
Рассмотрим функцию $y=\cos(5x)$. Ее график — косинусоида. График г) представляет собой треугольную волну, которая является кусочно-линейной аппроксимацией косинусоиды. Обе функции четные и имеют максимум в $x=0$.
Таким образом, функция (б) (с исправленным знаком) соответствует графику г).

Ответ: График г).

в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.
Это четная функция. При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$.
Как и в случае (б), мы сталкиваемся с несоответствием знака. Предположим, что и здесь имеется опечатка, и правильная функция $y = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.
Функция $y=\cos(2x)$ — четная, при $x=0$ ее значение равно 1. Ее график — гладкая кривая (косинусоида).
График б) является четной функцией, имеет максимум в $x=0$ и представляет собой гладкую кривую, похожую на арку косинусоиды. Этот график идеально соответствует функции $y=\cos(2x)$ на отрезке $[-\pi/4, \pi/4]$ (если предположить, что $T/2 = \pi/4$).
Следовательно, функция (в) (с исправленным знаком) соответствует графику б).

Ответ: График б).

г) $y = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
$y = \sin(3x+x) = \sin(4x)$.
Это нечетная функция, так как $y(-x) = \sin(4(-x)) = -\sin(4x) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x=0$, $y=0$.
Единственный нечетный график — это график в). Он проходит через начало координат и симметричен относительно него. Форма графика также соответствует синусоиде на интервале возрастания.
Следовательно, функция (г) соответствует графику в).

Ответ: График в).