Номер 68, страница 39 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 68, страница 39.

Условие.

68. Для функции $f$ ученик проверил справедливость двух равенств и сделал вывод, что $T$ является периодом $f$. Прав ли ученик, если:

а) $f(x) = \sin x$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $T = \frac{2\pi}{3}$;

б) $f(x) = \cos x$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = 0$, $T = \pi$;

в) $f(x) = \begin{cases} x+1, \text{ если } x \leq 1, \\ 3-x, \text{ если } x > 1, \end{cases}$

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=0,5$, $f\left(-\frac{1}{2}+3\right)=0,5$, $T=3$;

г) $f(x) = x+|x|$, $f(-4)=0$, $f(-4+3)=0$, $T=3$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Утверждение ученика основано на проверке равенства $f(x_0) = f(x_0+T)$ для одного конкретного значения $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Для того чтобы число $T$ являлось периодом функции, равенство $f(x+T) = f(x)$ должно выполняться для всех значений $x$ из области определения функции.
Проверка ученика: $f(\frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Значение функции в точке $x_0+T$: $f(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi+4\pi}{6}) = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Для данной точки равенство выполняется.
Однако, это не доказывает, что $T=\frac{2\pi}{3}$ является периодом. Найдем контрпример. Возьмем $x=0$:
$f(0) = \sin 0 = 0$.
$f(0 + \frac{2\pi}{3}) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $f(0) \neq f(0+T)$, то есть $0 \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, число $T = \frac{2\pi}{3}$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$. Таким образом, ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

б) Ученик проверил равенство для точки $x = \frac{\pi}{2}$ и $T=\pi$ для функции $f(x)=\cos x$.
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
$f(\frac{\pi}{2} + \pi) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
Для этой точки равенство $f(x)=f(x+T)$ выполняется. Однако, как и в предыдущем пункте, этого недостаточно.
Проверим для другой точки, например, $x=0$:
$f(0) = \cos 0 = 1$.
$f(0 + \pi) = \cos \pi = -1$.
Так как $1 \neq -1$, равенство не выполняется для всех $x$. На самом деле, верна формула $\cos(x+\pi) = -\cos x$, то есть равенство $\cos(x+\pi)=\cos x$ выполняется только для тех $x$, где $\cos x = 0$. Следовательно, $T = \pi$ не является периодом функции $f(x)=\cos x$, и ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

в) Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{если } x \le 1 \\ 3-x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ и предполагаемый период $T=3$.
Ученик проверил равенство для $x = -\frac{1}{2}$:
Поскольку $-\frac{1}{2} \le 1$, то $f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + 1 = 0,5$.
Точка $x+T = -\frac{1}{2} + 3 = 2,5$. Поскольку $2,5 > 1$, то $f(2,5) = 3 - 2,5 = 0,5$.
Равенство для данной точки выполняется.
Проверим для другой точки, например, $x=0$:
Поскольку $0 \le 1$, то $f(0) = 0+1=1$.
Точка $x+T = 0+3=3$. Поскольку $3 > 1$, то $f(3) = 3-3=0$.
Так как $f(0) \neq f(0+3)$ ($1 \neq 0$), число $T=3$ не является периодом функции. Ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.

г) Дана функция $f(x) = x+|x|$ и предполагаемый период $T=3$. Эту функцию можно записать в виде: $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 2x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Ученик проверил равенство для $x=-4$:
Поскольку $-4 < 0$, то $f(-4)=0$.
Точка $x+T = -4+3=-1$. Поскольку $-1 < 0$, то $f(-1)=0$.
Равенство для данной точки выполняется.
Проверим для другой точки, например, $x=1$:
Поскольку $1 \ge 0$, то $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
Точка $x+T = 1+3=4$. Поскольку $4 \ge 0$, то $f(4) = 2 \cdot 4 = 8$.
Так как $f(1) \neq f(1+3)$ ($2 \neq 8$), число $T=3$ не является периодом функции. Ученик не прав.

Ответ: Ученик не прав.