Номер 73, страница 40 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 73, страница 40.
№73 (с. 40)
Условие. №73 (с. 40)
скриншот условия

73.— Найдите наименьший положительный период функции:
а) $y = \sin^2 x$;
б) $y = \text{tg } x \text{ ctg } x$;
в) $y = \sin^4 x - \cos^4 x$;
г) $y=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}$.
Решение 1. №73 (с. 40)

Решение 3. №73 (с. 40)

Решение 4. №73 (с. 40)

Решение 5. №73 (с. 40)
а) $y = \sin^2 x$
Для нахождения периода преобразуем функцию, используя формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Применив эту формулу, получаем:$y = \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k=2$. Следовательно, период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.
б) $y = \tg x \cdot \ctg x$
Сначала упростим выражение: $y = \tg x \cdot \frac{1}{\tg x} = 1$. Однако это равенство справедливо только для тех $x$, для которых определены и $\tg x$, и $\ctg x$.
Область определения функции $D(y)$ исключает точки, где $\cos x = 0$ (для $\tg x$) и $\sin x = 0$ (для $\ctg x$). То есть, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x \neq \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$. Объединив эти условия, получаем, что функция не определена в точках $x = \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.
На всей своей области определения функция равна $y=1$. Период такой функции определяется периодичностью её области определения. Точки разрыва $x = \frac{\pi m}{2}$ повторяются с наименьшим положительным шагом $\frac{\pi}{2}$. Это и есть наименьший положительный период функции.
Формально, для того чтобы $T$ было периодом, область определения $D(y)$ должна быть замкнута относительно сдвига на $T$. Наименьшее положительное число $T$, для которого множество точек разрыва $\{ \frac{\pi m}{2} | m \in \mathbb{Z} \}$ переходит в себя при сдвиге, это $T=\frac{\pi}{2}$. Поскольку значения функции на области определения постоянны ($f(x)=1$), то условие $f(x+T)=f(x)$ также выполняется.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.
в) $y = \sin^4 x - \cos^4 x$
Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$y = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.Из последней формулы следует, что $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.
Подставляя полученные выражения, получаем:$y = (-\cos(2x)) \cdot 1 = -\cos(2x)$.
Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В данном случае $k=2$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.
г) $y = \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$y = \sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$.
Сгруппируем слагаемые:$y = \left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right) + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
Получаем:$y = 1 + \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = 1 + \sin x$.
Наименьший положительный период функции вида $y = A\sin(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k=1$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 73 расположенного на странице 40 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №73 (с. 40), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.