Номер 73, страница 40 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 73, страница 40.

Условие.

73.— Найдите наименьший положительный период функции:

а) $y = \sin^2 x$;

б) $y = \text{tg } x \text{ ctg } x$;

в) $y = \sin^4 x - \cos^4 x$;

г) $y=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = \sin^2 x$

Для нахождения периода преобразуем функцию, используя формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применив эту формулу, получаем:$y = \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k=2$. Следовательно, период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) $y = \tg x \cdot \ctg x$

Сначала упростим выражение: $y = \tg x \cdot \frac{1}{\tg x} = 1$. Однако это равенство справедливо только для тех $x$, для которых определены и $\tg x$, и $\ctg x$.

Область определения функции $D(y)$ исключает точки, где $\cos x = 0$ (для $\tg x$) и $\sin x = 0$ (для $\ctg x$). То есть, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x \neq \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$. Объединив эти условия, получаем, что функция не определена в точках $x = \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

На всей своей области определения функция равна $y=1$. Период такой функции определяется периодичностью её области определения. Точки разрыва $x = \frac{\pi m}{2}$ повторяются с наименьшим положительным шагом $\frac{\pi}{2}$. Это и есть наименьший положительный период функции.

Формально, для того чтобы $T$ было периодом, область определения $D(y)$ должна быть замкнута относительно сдвига на $T$. Наименьшее положительное число $T$, для которого множество точек разрыва $\{ \frac{\pi m}{2} | m \in \mathbb{Z} \}$ переходит в себя при сдвиге, это $T=\frac{\pi}{2}$. Поскольку значения функции на области определения постоянны ($f(x)=1$), то условие $f(x+T)=f(x)$ также выполняется.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) $y = \sin^4 x - \cos^4 x$

Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.Из последней формулы следует, что $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Подставляя полученные выражения, получаем:$y = (-\cos(2x)) \cdot 1 = -\cos(2x)$.

Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В данном случае $k=2$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

г) $y = \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$y = \sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:$y = \left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right) + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Получаем:$y = 1 + \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = 1 + \sin x$.

Наименьший положительный период функции вида $y = A\sin(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k=1$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.