Страница 40 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

73.— Найдите наименьший положительный период функции:

а) $y = \sin^2 x$;

б) $y = \text{tg } x \text{ ctg } x$;

в) $y = \sin^4 x - \cos^4 x$;

г) $y=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}$.

а) $y = \sin^2 x$

Для нахождения периода преобразуем функцию, используя формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применив эту формулу, получаем:$y = \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k=2$. Следовательно, период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

б) $y = \tg x \cdot \ctg x$

Сначала упростим выражение: $y = \tg x \cdot \frac{1}{\tg x} = 1$. Однако это равенство справедливо только для тех $x$, для которых определены и $\tg x$, и $\ctg x$.

Область определения функции $D(y)$ исключает точки, где $\cos x = 0$ (для $\tg x$) и $\sin x = 0$ (для $\ctg x$). То есть, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x \neq \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$. Объединив эти условия, получаем, что функция не определена в точках $x = \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

На всей своей области определения функция равна $y=1$. Период такой функции определяется периодичностью её области определения. Точки разрыва $x = \frac{\pi m}{2}$ повторяются с наименьшим положительным шагом $\frac{\pi}{2}$. Это и есть наименьший положительный период функции.

Формально, для того чтобы $T$ было периодом, область определения $D(y)$ должна быть замкнута относительно сдвига на $T$. Наименьшее положительное число $T$, для которого множество точек разрыва $\{ \frac{\pi m}{2} | m \in \mathbb{Z} \}$ переходит в себя при сдвиге, это $T=\frac{\pi}{2}$. Поскольку значения функции на области определения постоянны ($f(x)=1$), то условие $f(x+T)=f(x)$ также выполняется.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) $y = \sin^4 x - \cos^4 x$

Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.Из последней формулы следует, что $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Подставляя полученные выражения, получаем:$y = (-\cos(2x)) \cdot 1 = -\cos(2x)$.

Наименьший положительный период функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В данном случае $k=2$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

г) $y = \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$y = \sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:$y = \left(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right) + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$.

Получаем:$y = 1 + \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = 1 + \sin x$.

Наименьший положительный период функции вида $y = A\sin(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k=1$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

74.— Постройте график функции:

a) $y = 1 - \cos 1.5x;$

б) $y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right);$

в) $y = 2 + \sin \frac{x}{2};$

г) $y = \operatorname{tg} \left(2x - \frac{\pi}{6}\right).$

а) $y = 1 - \cos 1,5x$

Для построения графика функции $y = 1 - \cos(1,5x)$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos x$. Функцию можно представить в виде $y = -\cos(1,5x) + 1$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, проходящая через точку $(0, 1)$.
• Шаг 2: Сжимаем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \cos(1,5x)$. Коэффициент $1,5$ при $x$ означает сжатие графика по горизонтали в $1,5$ раза. Период функции уменьшается и становится равным $T = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{4\pi}{3}$.
• Шаг 3: Отражаем график относительно оси Ox. Строим график $y_3 = -\cos(1,5x)$. Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение графика $y_2$ относительно оси абсцисс. Теперь график проходит через точку $(0, -1)$.
• Шаг 4: Сдвигаем график по оси Oy. Строим итоговый график $y = -\cos(1,5x) + 1$. Это сдвиг графика $y_3$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

Свойства и ключевые точки функции $y = 1 - \cos(1,5x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos(1,5x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(1,5x) \le 1$. Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получаем $0 \le 1 - \cos(1,5x) \le 2$. Таким образом, $E(y) = [0; 2]$.
• Период: $T = \frac{4\pi}{3}$.
• Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{4\pi}{3}]$:
  • при $x=0$, $y = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$. (Точка минимума)
  • при $x=\frac{2\pi}{3}$, $y = 1 - \cos(1,5 \cdot \frac{2\pi}{3}) = 1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$. (Точка максимума)
  • при $x=\frac{4\pi}{3}$, $y = 1 - \cos(1,5 \cdot \frac{4\pi}{3}) = 1 - \cos(2\pi) = 1 - 1 = 0$. (Точка минимума)

Итоговый график — это косинусоида, которая колеблется относительно прямой $y=1$ с амплитудой 1, причем в точке $x=0$ у нее минимум.

Ответ: График функции $y=1-\cos(1,5x)$ получается из графика $y=\cos x$ путем сжатия по оси Ox в 1,5 раза, симметричного отражения относительно оси Ox и сдвига на 1 единицу вверх по оси Oy. Период функции $T = \frac{4\pi}{3}$, область значений $E(y) = [0, 2]$.

б) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию, вынеся коэффициент при $x$ за скобки: $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Построение будем выполнять путем преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, проходящая через точку $(0, 0)$.
• Шаг 2: Сжимаем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \sin(2x)$. Коэффициент $2$ при $x$ означает сжатие графика по горизонтали в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• Шаг 3: Сдвигаем график по оси Ox. Строим итоговый график $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Это сдвиг графика $y_2$ вправо по оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$ (фазовый сдвиг).

Свойства и ключевые точки функции $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T = \pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
• Ключевые точки на одном периоде. Период синусоиды начинается, когда ее аргумент равен 0, т.е. $2x - \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$. Период заканчивается при $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}$.
  • при $x=\frac{\pi}{6}$, $y = \sin(0) = 0$. (Начало периода, восходящий узел)
  • при $x=\frac{5\pi}{12}$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. (Максимум)
  • при $x=\frac{2\pi}{3}$, $y = \sin(\pi) = 0$. (Нисходящий узел)
  • при $x=\frac{11\pi}{12}$, $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. (Минимум)
  • при $x=\frac{7\pi}{6}$, $y = \sin(2\pi) = 0$. (Конец периода)

Ответ: График функции $y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$ получается из графика $y=\sin x$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и сдвига на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси Ox. Период функции $T = \pi$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

в) $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$ выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$. Функцию можно представить в виде $y = \sin(\frac{1}{2}x) + 2$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \sin x$.
• Шаг 2: Растягиваем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \sin(\frac{x}{2})$. Коэффициент $\frac{1}{2}$ при $x$ означает растяжение графика по горизонтали в 2 раза. Период функции увеличивается и становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
• Шаг 3: Сдвигаем график по оси Oy. Строим итоговый график $y = \sin(\frac{x}{2}) + 2$. Это сдвиг графика $y_2$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Свойства и ключевые точки функции $y = 2 + \sin\frac{x}{2}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \sin(\frac{x}{2}) \le 1$, то прибавив 2, получим $1 \le 2 + \sin(\frac{x}{2}) \le 3$. Таким образом, $E(y) = [1; 3]$.
• Период: $T = 4\pi$.
• Ключевые точки на одном периоде $[0; 4\pi]$:
  • при $x=0$, $y = 2 + \sin(0) = 2$.
  • при $x=\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 2 + 1 = 3$. (Максимум)
  • при $x=2\pi$, $y = 2 + \sin(\pi) = 2$.
  • при $x=3\pi$, $y = 2 + \sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 - 1 = 1$. (Минимум)
  • при $x=4\pi$, $y = 2 + \sin(2\pi) = 2$.

Итоговый график — это синусоида, растянутая по горизонтали и смещенная вверх, которая колеблется относительно прямой $y=2$ с амплитудой 1.

Ответ: График функции $y=2+\sin\frac{x}{2}$ получается из графика $y=\sin x$ путем растяжения по оси Ox в 2 раза и сдвига на 2 единицы вверх по оси Oy. Период функции $T = 4\pi$, область значений $E(y) = [1, 3]$.

г) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию: $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\right)$. Построение будем выполнять путем преобразования графика базовой функции $y = \text{tg} x$.

• Шаг 1: Строим график функции $y_1 = \text{tg} x$. Это тангенсоида с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
• Шаг 2: Сжимаем график по оси Ox. Строим график $y_2 = \text{tg}(2x)$. Коэффициент $2$ при $x$ означает сжатие графика по горизонтали в 2 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{2}$. Асимптоты находятся из условия $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.
• Шаг 3: Сдвигаем график по оси Ox. Строим итоговый график $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{12}\right)\right)$. Это сдвиг графика $y_2$ вправо по оси абсцисс на $\frac{\pi}{12}$.

Свойства и ключевые точки функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$:

• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Вертикальные асимптоты: сдвигаем асимптоты $y_2$ на $\frac{\pi}{12}$ вправо: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{3\pi+\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{4\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $2x - \frac{\pi}{6} = k\pi \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это центры симметрии для каждой ветви тангенсоиды.
• Рассмотрим одну ветвь графика, например, при $k=0$. Нуль функции в точке $x = \frac{\pi}{12}$. Эта ветвь заключена между асимптотами $x = \frac{\pi}{3} + \frac{(-1)\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3} + \frac{0\cdot\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y=\text{tg}(2x-\frac{\pi}{6})$ получается из графика $y=\text{tg} x$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и сдвига на $\frac{\pi}{12}$ вправо по оси Ox. Период функции $T = \frac{\pi}{2}$, вертикальные асимптоты задаются формулой $x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

75. Докажите, что если функция $y = f(x)$ периодическая, то и функция $y = kf(x) + b$ периодическая.

По определению, функция $y = f(x)$ является периодической, если существует такое число $T \neq 0$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Нам дано, что функция $y=f(x)$ — периодическая с некоторым периодом $T$.

Рассмотрим функцию $g(x) = kf(x) + b$. Чтобы доказать, что эта функция также является периодической, нам нужно показать, что для нее существует такой же период $T$. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения $f(x)$, поэтому первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x+T$:

$g(x+T) = kf(x+T) + b$

Так как мы знаем, что $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$, мы можем заменить $f(x+T)$ на $f(x)$:

$g(x+T) = kf(x) + b$

Правая часть полученного равенства в точности совпадает с определением функции $g(x)$. Таким образом, мы получаем:

$g(x+T) = g(x)$

Это равенство выполняется для любого $x$ из области определения, и мы нашли ненулевое число $T$, которое является периодом для функции $g(x)$. Следовательно, функция $y = kf(x) + b$ является периодической. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если функция $f(x)$ имеет период $T$, то функция $g(x)=kf(x)+b$ также имеет период $T$, так как $g(x+T) = kf(x+T)+b = kf(x)+b = g(x)$.

76. Докажите, что число 2 не является периодом функции:

а) $y = x^2 - 3;$

б) $y = \cos x;$

в) $y = 3x - 5;$

г) $y = |x|.$

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Чтобы доказать, что число 2 не является периодом функции, достаточно найти хотя бы одно значение $x$, для которого это равенство неверно (доказательство от противного).

а) $y = x^2 - 3$

Обозначим $f(x) = x^2 - 3$. Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+2) = f(x)$.
Найдем значение функции в точке $x+2$:
$f(x+2) = (x+2)^2 - 3 = x^2 + 4x + 4 - 3 = x^2 + 4x + 1$.
Теперь приравняем $f(x+2)$ к $f(x)$:
$x^2 + 4x + 1 = x^2 - 3$
$4x = -4$
$x = -1$
Равенство $f(x+2) = f(x)$ выполняется только при $x=-1$, а не для всех $x$ из области определения. Следовательно, число 2 не является периодом функции. Для доказательства достаточно привести контрпример. Возьмем, например, $x=0$:
$f(0) = 0^2 - 3 = -3$.
$f(0+2) = f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Так как $f(0) \neq f(2)$ ($-3 \neq 1$), то число 2 не является периодом данной функции.
Ответ: Число 2 не является периодом функции.

б) $y = \cos x$

Функция $f(x) = \cos x$ является периодической. Ее наименьший положительный период равен $2\pi$. Любой другой период $T$ этой функции должен быть кратен основному, то есть иметь вид $T = 2\pi k$, где $k$ — любое целое, не равное нулю, число.
Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда должно существовать такое целое $k \neq 0$, что $2 = 2\pi k$.
Отсюда $k = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$.
Так как число $\frac{1}{\pi}$ не является целым, то 2 не может быть периодом функции $y = \cos x$.
Можно также привести контрпример. Возьмем $x=0$:
$f(0) = \cos(0) = 1$.
$f(0+2) = f(2) = \cos(2)$.
Так как $2$ не является числом вида $2\pi k$ для целого $k$, то $\cos(2) \neq 1$. Значит, $f(0+2) \neq f(0)$.
Ответ: Число 2 не является периодом функции.

в) $y = 3x - 5$

Обозначим $f(x) = 3x - 5$. Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+2) = f(x)$.
Найдем $f(x+2)$: $f(x+2) = 3(x+2) - 5 = 3x + 6 - 5 = 3x + 1$.
Приравняем $f(x+2)$ к $f(x)$:
$3x + 1 = 3x - 5$
$1 = -5$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что равенство $f(x+2) = f(x)$ не выполняется ни при каком значении $x$.
Для наглядности приведем пример при $x=1$:
$f(1) = 3(1) - 5 = -2$.
$f(1+2) = f(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$.
Так как $f(1) \neq f(3)$ ($-2 \neq 4$), число 2 не является периодом функции.
Ответ: Число 2 не является периодом функции.

г) $y = |x|$

Обозначим $f(x) = |x|$. Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+2) = f(x)$, то есть $|x+2| = |x|$.
Для доказательства, что 2 не является периодом, достаточно найти один контрпример. Возьмем $x=1$:
$f(1) = |1| = 1$.
$f(1+2) = f(3) = |3| = 3$.
Так как $f(1) \neq f(3)$ ($1 \neq 3$), равенство $f(x+2)=f(x)$ не выполняется для $x=1$. Следовательно, 2 не является периодом функции.
(Заметим, что равенство $|x+2| = |x|$ выполняется только при $x+2 = -x$, то есть при $x=-1$, но не для всех $x$).
Ответ: Число 2 не является периодом функции.