Номер 76, страница 40 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 76, страница 40.

Условие.

76. Докажите, что число 2 не является периодом функции:

а) $y = x^2 - 3;$

б) $y = \cos x;$

в) $y = 3x - 5;$

г) $y = |x|.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Чтобы доказать, что число 2 не является периодом функции, достаточно найти хотя бы одно значение $x$, для которого это равенство неверно (доказательство от противного).

а) $y = x^2 - 3$

Обозначим $f(x) = x^2 - 3$. Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+2) = f(x)$.
Найдем значение функции в точке $x+2$:
$f(x+2) = (x+2)^2 - 3 = x^2 + 4x + 4 - 3 = x^2 + 4x + 1$.
Теперь приравняем $f(x+2)$ к $f(x)$:
$x^2 + 4x + 1 = x^2 - 3$
$4x = -4$
$x = -1$
Равенство $f(x+2) = f(x)$ выполняется только при $x=-1$, а не для всех $x$ из области определения. Следовательно, число 2 не является периодом функции. Для доказательства достаточно привести контрпример. Возьмем, например, $x=0$:
$f(0) = 0^2 - 3 = -3$.
$f(0+2) = f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Так как $f(0) \neq f(2)$ ($-3 \neq 1$), то число 2 не является периодом данной функции.
Ответ: Число 2 не является периодом функции.

б) $y = \cos x$

Функция $f(x) = \cos x$ является периодической. Ее наименьший положительный период равен $2\pi$. Любой другой период $T$ этой функции должен быть кратен основному, то есть иметь вид $T = 2\pi k$, где $k$ — любое целое, не равное нулю, число.
Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда должно существовать такое целое $k \neq 0$, что $2 = 2\pi k$.
Отсюда $k = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$.
Так как число $\frac{1}{\pi}$ не является целым, то 2 не может быть периодом функции $y = \cos x$.
Можно также привести контрпример. Возьмем $x=0$:
$f(0) = \cos(0) = 1$.
$f(0+2) = f(2) = \cos(2)$.
Так как $2$ не является числом вида $2\pi k$ для целого $k$, то $\cos(2) \neq 1$. Значит, $f(0+2) \neq f(0)$.
Ответ: Число 2 не является периодом функции.

в) $y = 3x - 5$

Обозначим $f(x) = 3x - 5$. Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+2) = f(x)$.
Найдем $f(x+2)$: $f(x+2) = 3(x+2) - 5 = 3x + 6 - 5 = 3x + 1$.
Приравняем $f(x+2)$ к $f(x)$:
$3x + 1 = 3x - 5$
$1 = -5$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что равенство $f(x+2) = f(x)$ не выполняется ни при каком значении $x$.
Для наглядности приведем пример при $x=1$:
$f(1) = 3(1) - 5 = -2$.
$f(1+2) = f(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$.
Так как $f(1) \neq f(3)$ ($-2 \neq 4$), число 2 не является периодом функции.
Ответ: Число 2 не является периодом функции.

г) $y = |x|$

Обозначим $f(x) = |x|$. Предположим, что $T=2$ является периодом. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+2) = f(x)$, то есть $|x+2| = |x|$.
Для доказательства, что 2 не является периодом, достаточно найти один контрпример. Возьмем $x=1$:
$f(1) = |1| = 1$.
$f(1+2) = f(3) = |3| = 3$.
Так как $f(1) \neq f(3)$ ($1 \neq 3$), равенство $f(x+2)=f(x)$ не выполняется для $x=1$. Следовательно, 2 не является периодом функции.
(Заметим, что равенство $|x+2| = |x|$ выполняется только при $x+2 = -x$, то есть при $x=-1$, но не для всех $x$).
Ответ: Число 2 не является периодом функции.