Номер 75, страница 40 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 75, страница 40.

Условие.

75. Докажите, что если функция $y = f(x)$ периодическая, то и функция $y = kf(x) + b$ периодическая.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По определению, функция $y = f(x)$ является периодической, если существует такое число $T \neq 0$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Нам дано, что функция $y=f(x)$ — периодическая с некоторым периодом $T$.

Рассмотрим функцию $g(x) = kf(x) + b$. Чтобы доказать, что эта функция также является периодической, нам нужно показать, что для нее существует такой же период $T$. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения $f(x)$, поэтому первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x+T$:

$g(x+T) = kf(x+T) + b$

Так как мы знаем, что $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$, мы можем заменить $f(x+T)$ на $f(x)$:

$g(x+T) = kf(x) + b$

Правая часть полученного равенства в точности совпадает с определением функции $g(x)$. Таким образом, мы получаем:

$g(x+T) = g(x)$

Это равенство выполняется для любого $x$ из области определения, и мы нашли ненулевое число $T$, которое является периодом для функции $g(x)$. Следовательно, функция $y = kf(x) + b$ является периодической. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если функция $f(x)$ имеет период $T$, то функция $g(x)=kf(x)+b$ также имеет период $T$, так как $g(x+T) = kf(x+T)+b = kf(x)+b = g(x)$.