Номер 82, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 82, страница 47.

Условие.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции, ее максимумы и минимумы (82—85).

82. а) $y = -x^2 + 6x - 8;$

б) $y = (x + 2)^4 + 1;$

в) $y = x^2 - 4x;$

г) $y = (x - 3)^4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для функции $y = -x^2 + 6x - 8$ найдем ее производную: $y' = (-x^2 + 6x - 8)' = -2x + 6$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $-2x + 6 = 0$, откуда $x = 3$. Исследуем знак производной: при $x < 3$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$; при $x > 3$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[3, \infty)$. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «+» на «–», поэтому $x=3$ является точкой максимума. Найдем максимум функции: $y_{max} = y(3) = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$. Точек минимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$; промежуток убывания: $[3, \infty)$; точка максимума: $x_{max} = 3$; максимум функции: $y_{max} = 1$; точек минимума и минимумов нет.

б) Для функции $y = (x + 2)^4 + 1$ найдем ее производную: $y' = ((x + 2)^4 + 1)' = 4(x + 2)^3$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $4(x + 2)^3 = 0$, откуда $x = -2$. Исследуем знак производной: при $x < -2$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$; при $x > -2$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[-2, \infty)$. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому $x=-2$ является точкой минимума. Найдем минимум функции: $y_{min} = y(-2) = (-2 + 2)^4 + 1 = 1$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $[-2, \infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, -2]$; точка минимума: $x_{min} = -2$; минимум функции: $y_{min} = 1$; точек максимума и максимумов нет.

в) Для функции $y = x^2 - 4x$ найдем ее производную: $y' = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $2x - 4 = 0$, откуда $x = 2$. Исследуем знак производной: при $x < 2$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$; при $x > 2$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[2, \infty)$. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому $x=2$ является точкой минимума. Найдем минимум функции: $y_{min} = y(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $[2, \infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 2]$; точка минимума: $x_{min} = 2$; минимум функции: $y_{min} = -4$; точек максимума и максимумов нет.

г) Для функции $y = (x - 3)^4$ найдем ее производную: $y' = ((x - 3)^4)' = 4(x - 3)^3$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $4(x - 3)^3 = 0$, откуда $x = 3$. Исследуем знак производной: при $x < 3$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$; при $x > 3$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3, \infty)$. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому $x=3$ является точкой минимума. Найдем минимум функции: $y_{min} = y(3) = (3 - 3)^4 = 0$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $[3, \infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 3]$; точка минимума: $x_{min} = 3$; минимум функции: $y_{min} = 0$; точек максимума и максимумов нет.