Номер 84, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 84, страница 47.

Условие.

84.-

a) $y = 3 \sin x - 1$;

б) $y = -2 \cos x + 1$;

в) $y = 2 \cos x + 1$;

г) $y = 0,5 \sin x - 1,5$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти область значений (множество всех возможных значений $y$) для каждой из данных функций, мы будем использовать свойство ограниченности синуса и косинуса. Известно, что для любого действительного числа $x$ значения $\sin x$ и $\cos x$ всегда находятся в отрезке $[-1, 1]$.

а) $y = 3 \sin x - 1$

1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$
2. Умножим все части этого двойного неравенства на 3 (положительное число, знаки неравенства сохраняются):
$3 \cdot (-1) \le 3 \sin x \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3 \sin x \le 3$
3. Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы получить исходное выражение для $y$:
$-3 - 1 \le 3 \sin x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le y \le 2$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от -4 до 2.

Ответ: $E(y) = [-4; 2]$.

б) $y = -2 \cos x + 1$

1. Начнем с основного неравенства для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-2) \cdot (-1) \ge -2 \cos x \ge (-2) \cdot 1$
$2 \ge -2 \cos x \ge -2$
Для удобства запишем неравенство в стандартном порядке (от меньшего к большему):
$-2 \le -2 \cos x \le 2$
3. Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le -2 \cos x + 1 \le 2 + 1$
$-1 \le y \le 3$
Следовательно, область значений функции — это отрезок от -1 до 3.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

в) $y = 2 \cos x + 1$

1. Начнем с основного неравенства для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на 2 (положительное число):
$2 \cdot (-1) \le 2 \cos x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2 \cos x \le 2$
3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le 2 \cos x + 1 \le 2 + 1$
$-1 \le y \le 3$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от -1 до 3.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

г) $y = 0,5 \sin x - 1,5$

1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на 0,5 (положительное число):
$0,5 \cdot (-1) \le 0,5 \sin x \le 0,5 \cdot 1$
$-0,5 \le 0,5 \sin x \le 0,5$
3. Вычтем 1,5 из всех частей неравенства:
$-0,5 - 1,5 \le 0,5 \sin x - 1,5 \le 0,5 - 1,5$
$-2 \le y \le -1$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от -2 до -1.

Ответ: $E(y) = [-2; -1]$.