Страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

79. a) $x_{\text{max}} = -3, x_{\text{min}} = 4, f(-3) = 5, f(4) = -5;$

б) $x_{\text{min}} = -2, x_{\text{min}} = 2, x_{\text{max}} = 0,$
$f(-2) = f(2) = -3, f(0) = 2;$

в) $x_{\text{min}} = -5, x_{\text{max}} = 2,$
$f(-5) = 1, f(2) = 6;$

г) $x_{\text{max}} = -4, x_{\text{max}} = 3, x_{\text{min}} = -1,$
$f(-4) = 5, f(3) = 2, f(-1) = -2.$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо сравнить её значения на концах отрезка и в критических точках (точках локального максимума и минимума), которые лежат внутри отрезка. В данном случае отрезок определяется заданными точками $x = -3$ и $x = 4$, то есть это отрезок $[-3, 4]$.
Нам даны точки экстремума, которые совпадают с концами отрезка: точка максимума $x_{max} = -3$ и точка минимума $x_{min} = 4$.
Значения функции в этих точках: $f(-3) = 5$ и $f(4) = -5$.
Сравниваем эти значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-3), f(4)) = \max(5, -5) = 5$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-3), f(4)) = \min(5, -5) = -5$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение функции равно -5.

б) Рассматривается функция на отрезке, определяемом крайними из заданных абсцисс: $[-2, 2]$.
На концах отрезка находятся точки минимума: $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 2$.
Внутри отрезка находится точка максимума: $x_{max} = 0$.
Значения функции в этих точках: $f(-2) = -3$, $f(2) = -3$ и $f(0) = 2$.
Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критической точке внутри него:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-2), f(2), f(0)) = \max(-3, -3, 2) = 2$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-2), f(2), f(0)) = \min(-3, -3, 2) = -3$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение функции равно -3.

в) Рассматривается функция на отрезке $[-5, 2]$.
Точки экстремума совпадают с концами отрезка: точка минимума $x_{min} = -5$ и точка максимума $x_{max} = 2$.
Значения функции в этих точках: $f(-5) = 1$ и $f(2) = 6$.
Сравниваем эти значения:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-5), f(2)) = \max(1, 6) = 6$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-5), f(2)) = \min(1, 6) = 1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение функции равно 1.

г) Рассматривается функция на отрезке $[-4, 3]$.
На концах отрезка находятся точки максимума: $x_{max} = -4$ и $x_{max} = 3$.
Внутри отрезка находится точка минимума: $x_{min} = -1$.
Значения функции в этих точках: $f(-4) = 5$, $f(3) = 2$ и $f(-1) = -2$.
Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критической точке внутри него:
Наибольшее значение: $f_{наиб.} = \max(f(-4), f(3), f(-1)) = \max(5, 2, -2) = 5$.
Наименьшее значение: $f_{наим.} = \min(f(-4), f(3), f(-1)) = \min(5, 2, -2) = -2$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение функции равно -2.

80.— a) $f$ — четная функция, $x_{\text{max}} = -3$, $x_{\text{min}} = 0$,

$f (-3) = 4$, $f (0) = 0$;

б) $f$ — нечетная функция, $x_{\text{max}} = 2$, $x_{\text{min}} = 5$,

$f (2) = 3$, $f (5) = -4$;

в) $f$ — четная функция, $x_{\text{min}} = 4$, $x_{\text{max}} = 0$,

$f (4) = -2$, $f (0) = 2$;

г) $f$ — нечетная функция, $x_{\text{min}} = -4$, $x_{\text{max}} = -1$,

$f (-4) = -3$, $f (-1) = 1$.

а) Дана четная функция $f(x)$. Для четной функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, а ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если $x_0$ является точкой максимума (или минимума), то и $-x_0$ является точкой максимума (или минимума) с тем же значением функции.

Нам дано, что $x_{max} = -3$ и $f(-3) = 4$. Из свойства четности следует, что $x = -(-3) = 3$ также является точкой максимума, и $f(3) = f(-3) = 4$.

Нам дано, что $x_{min} = 0$ и $f(0) = 0$. Точка $x=0$ находится на оси симметрии, поэтому она не порождает другой точки экстремума.

Ответ: точки максимума: $x_{max} = -3$ и $x_{max} = 3$, значение в точках максимума $f(-3) = f(3) = 4$. Точка минимума: $x_{min} = 0$, значение в точке минимума $f(0) = 0$.

б) Дана нечетная функция $f(x)$. По определению нечетной функции, $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат. Если $x_0$ является точкой максимума, то из-за симметрии точка $-x_0$ будет точкой минимума, и значение функции в ней будет $f(-x_0) = -f(x_0)$. Аналогично, если $x_0$ — точка минимума, то $-x_0$ — точка максимума.

По условию, $x_{max} = 2$ — точка максимума, и $f(2) = 3$. Следовательно, из-за нечетности функции, точка $x = -2$ является точкой минимума, и значение функции в ней $f(-2) = -f(2) = -3$.

Также по условию, $x_{min} = 5$ — точка минимума, и $f(5) = -4$. Следовательно, точка $x = -5$ является точкой максимума, и значение функции в ней $f(-5) = -f(5) = -(-4) = 4$.

Ответ: точки максимума: $x_{max} = 2$ со значением $f(2) = 3$ и $x_{max} = -5$ со значением $f(-5) = 4$. Точки минимума: $x_{min} = 5$ со значением $f(5) = -4$ и $x_{min} = -2$ со значением $f(-2) = -3$.

в) Дана четная функция $f(x)$, для которой $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат. Если $x_0$ — точка экстремума, то и $-x_0$ — точка экстремума того же типа со значением $f(-x_0) = f(x_0)$.

По условию, $x_{min} = 4$ — точка минимума, и $f(4) = -2$. Из свойства четности следует, что $x = -4$ также является точкой минимума, и $f(-4) = f(4) = -2$.

Дано, что $x_{max} = 0$ — точка максимума, и $f(0) = 2$. Эта точка лежит на оси симметрии, поэтому она не дает новой точки экстремума.

Ответ: точка максимума: $x_{max} = 0$, значение в точке максимума $f(0) = 2$. Точки минимума: $x_{min} = 4$ и $x_{min} = -4$, значение в точках минимума $f(4) = f(-4) = -2$.

г) Дана нечетная функция $f(x)$, для которой $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Если $x_0$ — точка максимума (минимума), то $-x_0$ — точка минимума (максимума) со значением $f(-x_0) = -f(x_0)$.

По условию, $x_{min} = -4$ — точка минимума, и $f(-4) = -3$. Из свойства нечетности следует, что $x = -(-4) = 4$ является точкой максимума, и значение функции в ней $f(4) = -f(-4) = -(-3) = 3$.

Также по условию, $x_{max} = -1$ — точка максимума, и $f(-1) = 1$. Следовательно, точка $x = -(-1) = 1$ является точкой минимума, и значение функции в ней $f(1) = -f(-1) = -1$.

Ответ: точки максимума: $x_{max} = -1$ со значением $f(-1) = 1$ и $x_{max} = 4$ со значением $f(4) = 3$. Точки минимума: $x_{min} = -4$ со значением $f(-4) = -3$ и $x_{min} = 1$ со значением $f(1) = -1$.

81. Докажите, что функция $y = kx + b$:

a) возрастает на множестве $\mathbf{R}$ при $k > 0$;

б) убывает на множестве $\mathbf{R}$ при $k < 0$.

а) возрастает на множестве R при k > 0;

Чтобы доказать, что линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k > 0$, необходимо воспользоваться определением возрастающей функции.

Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из множества действительных чисел $\mathbb{R}$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Из этого неравенства следует, что разность $x_2 - x_1$ является положительным числом: $x_2 - x_1 > 0$.

Теперь найдем значения функции $y(x) = kx + b$ в этих точках:
$y(x_1) = kx_1 + b$
$y(x_2) = kx_2 + b$

Рассмотрим разность значений функции $y(x_2) - y(x_1)$:
$y(x_2) - y(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$.

По условию $k > 0$. Мы также знаем, что $x_2 - x_1 > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно,
$k(x_2 - x_1) > 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_2) > y(x_1)$.
Поскольку для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ из условия $x_2 > x_1$ следует $y(x_2) > y(x_1)$, то функция $y = kx + b$ возрастает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k > 0$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) убывает на множестве R при k < 0.

Чтобы доказать, что линейная функция $y = kx + b$ является убывающей на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k < 0$, необходимо воспользоваться определением убывающей функции.

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Аналогично предыдущему пункту, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из множества $\mathbb{R}$ так, чтобы $x_2 > x_1$. Отсюда следует, что $x_2 - x_1 > 0$.

Рассмотрим разность значений функции $y(x_2) - y(x_1)$, которая, как мы уже показали, равна:
$y(x_2) - y(x_1) = k(x_2 - x_1)$.

По условию $k < 0$. Мы также знаем, что $x_2 - x_1 > 0$. Произведение отрицательного числа на положительное всегда является отрицательным числом. Следовательно,
$k(x_2 - x_1) < 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_2) < y(x_1)$.
Поскольку для любых $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ из условия $x_2 > x_1$ следует $y(x_2) < y(x_1)$, то функция $y = kx + b$ убывает на всем множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ при $k < 0$.
Ответ: Утверждение доказано.

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции, ее максимумы и минимумы (82—85).

82. а) $y = -x^2 + 6x - 8;$

б) $y = (x + 2)^4 + 1;$

в) $y = x^2 - 4x;$

г) $y = (x - 3)^4$.

а) Для функции $y = -x^2 + 6x - 8$ найдем ее производную: $y' = (-x^2 + 6x - 8)' = -2x + 6$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $-2x + 6 = 0$, откуда $x = 3$. Исследуем знак производной: при $x < 3$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$; при $x > 3$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[3, \infty)$. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «+» на «–», поэтому $x=3$ является точкой максимума. Найдем максимум функции: $y_{max} = y(3) = -(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$. Точек минимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$; промежуток убывания: $[3, \infty)$; точка максимума: $x_{max} = 3$; максимум функции: $y_{max} = 1$; точек минимума и минимумов нет.

б) Для функции $y = (x + 2)^4 + 1$ найдем ее производную: $y' = ((x + 2)^4 + 1)' = 4(x + 2)^3$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $4(x + 2)^3 = 0$, откуда $x = -2$. Исследуем знак производной: при $x < -2$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$; при $x > -2$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[-2, \infty)$. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому $x=-2$ является точкой минимума. Найдем минимум функции: $y_{min} = y(-2) = (-2 + 2)^4 + 1 = 1$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $[-2, \infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, -2]$; точка минимума: $x_{min} = -2$; минимум функции: $y_{min} = 1$; точек максимума и максимумов нет.

в) Для функции $y = x^2 - 4x$ найдем ее производную: $y' = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $2x - 4 = 0$, откуда $x = 2$. Исследуем знак производной: при $x < 2$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$; при $x > 2$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[2, \infty)$. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому $x=2$ является точкой минимума. Найдем минимум функции: $y_{min} = y(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $[2, \infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 2]$; точка минимума: $x_{min} = 2$; минимум функции: $y_{min} = -4$; точек максимума и максимумов нет.

г) Для функции $y = (x - 3)^4$ найдем ее производную: $y' = ((x - 3)^4)' = 4(x - 3)^3$. Приравняв производную к нулю, найдем критическую точку: $4(x - 3)^3 = 0$, откуда $x = 3$. Исследуем знак производной: при $x < 3$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$; при $x > 3$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3, \infty)$. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», поэтому $x=3$ является точкой минимума. Найдем минимум функции: $y_{min} = y(3) = (3 - 3)^4 = 0$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: промежуток возрастания: $[3, \infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 3]$; точка минимума: $x_{min} = 3$; минимум функции: $y_{min} = 0$; точек максимума и максимумов нет.

83. a) $y = -\frac{3}{x-2}$;

б) $y = -(x + 3)^5$;

в) $y = -\frac{1}{x+3}$;

г) $y = (x - 4)^3$.

а) Дана функция $y = -\frac{3}{x-2}$. Эта функция является дробно-рациональной. Область определения дробно-рациональной функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех значений $x$, при которых знаменатель дроби равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые необходимо исключить из области определения:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Таким образом, функция не определена при $x = 2$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

б) Дана функция $y = -(x + 3)^5$. Эта функция является степенной, а также многочленом (полиномом). Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел, так как для вычисления значения функции не выполняются операции, имеющие ограничения (например, деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа).

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

в) Дана функция $y = -\frac{1}{x+3}$. Эта функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это множество всех действительных чисел, за исключением тех значений $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Значит, функция не определена в точке $x = -3$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -3.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

г) Дана функция $y = (x - 4)^3$. Эта функция является степенной и представляет собой многочлен третьей степени. Многочлены определены для всех действительных значений переменной $x$, так как в их выражении отсутствуют операции, накладывающие ограничения на область определения.

Поэтому область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

84.-

a) $y = 3 \sin x - 1$;

б) $y = -2 \cos x + 1$;

в) $y = 2 \cos x + 1$;

г) $y = 0,5 \sin x - 1,5$.

Чтобы найти область значений (множество всех возможных значений $y$) для каждой из данных функций, мы будем использовать свойство ограниченности синуса и косинуса. Известно, что для любого действительного числа $x$ значения $\sin x$ и $\cos x$ всегда находятся в отрезке $[-1, 1]$.

а) $y = 3 \sin x - 1$

1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$
2. Умножим все части этого двойного неравенства на 3 (положительное число, знаки неравенства сохраняются):
$3 \cdot (-1) \le 3 \sin x \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3 \sin x \le 3$
3. Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы получить исходное выражение для $y$:
$-3 - 1 \le 3 \sin x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le y \le 2$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от -4 до 2.

Ответ: $E(y) = [-4; 2]$.

б) $y = -2 \cos x + 1$

1. Начнем с основного неравенства для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-2) \cdot (-1) \ge -2 \cos x \ge (-2) \cdot 1$
$2 \ge -2 \cos x \ge -2$
Для удобства запишем неравенство в стандартном порядке (от меньшего к большему):
$-2 \le -2 \cos x \le 2$
3. Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le -2 \cos x + 1 \le 2 + 1$
$-1 \le y \le 3$
Следовательно, область значений функции — это отрезок от -1 до 3.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

в) $y = 2 \cos x + 1$

1. Начнем с основного неравенства для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на 2 (положительное число):
$2 \cdot (-1) \le 2 \cos x \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2 \cos x \le 2$
3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-2 + 1 \le 2 \cos x + 1 \le 2 + 1$
$-1 \le y \le 3$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от -1 до 3.

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

г) $y = 0,5 \sin x - 1,5$

1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на 0,5 (положительное число):
$0,5 \cdot (-1) \le 0,5 \sin x \le 0,5 \cdot 1$
$-0,5 \le 0,5 \sin x \le 0,5$
3. Вычтем 1,5 из всех частей неравенства:
$-0,5 - 1,5 \le 0,5 \sin x - 1,5 \le 0,5 - 1,5$
$-2 \le y \le -1$
Таким образом, область значений функции — это отрезок от -2 до -1.

Ответ: $E(y) = [-2; -1]$.

85. a) $y = 1 + 2 \operatorname{tg} x;$

Б) $y = \sin x + 1;$

В) $y = - \operatorname{tg} x;$

Г) $y = \cos x - 1.$

а) $y = 1 + 2 \tg x$. Данная функция является преобразованием основной тригонометрической функции $y = \tg x$. График этой функции можно получить из графика $y = \tg x$ путем двух последовательных преобразований: растяжения вдоль оси ординат (OY) в 2 раза, а затем параллельного переноса (сдвига) вдоль той же оси на 1 единицу вверх.

Проанализируем основные свойства функции:

• Область определения: Функция тангенса $\tg x$ не определена в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Область значений $\tg x$ — это все действительные числа $(-\infty, +\infty)$. Растяжение и сдвиг не меняют эту область, поэтому $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Периодичность: Наименьший положительный период функции $\tg x$ равен $\pi$. Преобразования не влияют на период, следовательно, период $T=\pi$.
• Четность: Функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 1 + 2\tg(-x) = 1 - 2\tg x \neq \pm y(x)$.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты функции совпадают с асимптотами $y = \tg x$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y=1+2\tg x$ имеет область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, область значений $(-\infty, +\infty)$, период $\pi$ и является функцией общего вида. Её график получается из графика $y=\tg x$ растяжением в 2 раза вдоль оси OY и сдвигом на 1 единицу вверх.

б) $y = \sin x + 1$. Данная функция является результатом преобразования основной тригонометрической функции $y = \sin x$. Ее график получается из графика синусоиды $y = \sin x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вверх вдоль оси ординат OY.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция синус определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Стандартная область значений для $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. При сдвиге на 1 вверх, все значения $y$ увеличиваются на 1. Таким образом, область значений функции $y = \sin x + 1$ есть отрезок $[-1+1, 1+1]$, то есть $E(y) = [0, 2]$.
• Периодичность: Наименьший положительный период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Вертикальный сдвиг не изменяет период, поэтому период $T = 2\pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Проверка: $y(-x) = \sin(-x) + 1 = -\sin x + 1$. Это выражение не равно ни $y(x) = \sin x + 1$, ни $-y(x) = -\sin x - 1$.

Ответ: Функция $y = \sin x + 1$ имеет область определения $\mathbb{R}$, область значений $[0, 2]$, период $2\pi$ и является функцией общего вида. Её график получается сдвигом графика $y=\sin x$ на 1 единицу вверх.

в) $y = -\tg x$. Эта функция является преобразованием функции $y = \tg x$. Ее график можно получить из графика тангенсоиды $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс OX.

Основные свойства функции:

• Область определения: Область определения совпадает с областью определения $y=\tg x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: Область значений функции $y = \tg x$ — это все действительные числа $(-\infty, +\infty)$. Отражение не влияет на множество значений, поэтому $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Периодичность: Период функции $y = \tg x$ равен $\pi$. Отражение не изменяет период, следовательно, период $T=\pi$.
• Четность: Функция является нечетной. Проверка: $y(-x) = -\tg(-x) = -(-\tg x) = \tg x$. Так как $-y(x) = -(-\tg x) = \tg x$, то выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
• Асимптоты: Вертикальные асимптоты не изменяются и имеют уравнения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция $y = -\tg x$ имеет область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, область значений $(-\infty, +\infty)$, период $\pi$ и является нечетной. Её график получается отражением графика $y=\tg x$ относительно оси OX.

г) $y = \cos x - 1$. Данная функция является результатом преобразования основной тригонометрической функции $y = \cos x$. Ее график получается из графика косинусоиды $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси ординат OY.

Основные свойства функции:

• Область определения: Функция косинус определена для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Стандартная область значений для $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. При сдвиге на 1 вниз, все значения $y$ уменьшаются на 1. Таким образом, область значений функции $y = \cos x - 1$ есть отрезок $[-1-1, 1-1]$, то есть $E(y) = [-2, 0]$.
• Периодичность: Наименьший положительный период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$. Вертикальный сдвиг не изменяет период, поэтому период $T = 2\pi$.
• Четность: Функция является четной. Проверка: $y(-x) = \cos(-x) - 1$. Так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), то $y(-x) = \cos x - 1 = y(x)$. Равенство $y(-x) = y(x)$ выполняется.

Ответ: Функция $y = \cos x - 1$ имеет область определения $\mathbb{R}$, область значений $[-2, 0]$, период $2\pi$ и является четной. Её график получается сдвигом графика $y=\cos x$ на 1 единицу вниз.

86.- Сравните числа:

a) $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{9}$;

б) $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$;

в) $\text{tg} \frac{9\pi}{7}$ и $\text{tg} \frac{6\pi}{5}$;

г) $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$.

а) Для сравнения чисел $ \cos \frac{3\pi}{7} $ и $ \cos \frac{2\pi}{9} $ сначала сравним их аргументы (углы). Оба угла, $ \frac{3\pi}{7} $ и $ \frac{2\pi}{9} $, находятся в первой четверти, так как $ 0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2} $ и $ 0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $. Функция косинуса на промежутке $ [0, \pi] $ является убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Приведем дроби к общему знаменателю 63, чтобы сравнить углы: $ \frac{3\pi}{7} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{7 \cdot 9} = \frac{27\pi}{63} $. $ \frac{2\pi}{9} = \frac{2 \cdot 7 \pi}{9 \cdot 7} = \frac{14\pi}{63} $. Поскольку $ \frac{27\pi}{63} > \frac{14\pi}{63} $, то $ \frac{3\pi}{7} > \frac{2\pi}{9} $. Так как функция косинуса убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $ \cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{9} $.
Ответ: $ \cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{9} $.

б) Для сравнения чисел $ \sin \frac{5\pi}{7} $ и $ \sin \frac{7\pi}{8} $ определим расположение углов. Оба угла, $ \frac{5\pi}{7} $ и $ \frac{7\pi}{8} $, находятся во второй четверти (от $ \frac{\pi}{2} $ до $ \pi $). На этом промежутке функция синуса убывает, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение синуса. Сравним углы, приведя их к общему знаменателю 56: $ \frac{5\pi}{7} = \frac{5 \cdot 8 \pi}{7 \cdot 8} = \frac{40\pi}{56} $. $ \frac{7\pi}{8} = \frac{7 \cdot 7 \pi}{8 \cdot 7} = \frac{49\pi}{56} $. Поскольку $ \frac{40\pi}{56} < \frac{49\pi}{56} $, то $ \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8} $. Так как функция синуса убывает на этом промежутке, знак неравенства меняется на противоположный: $ \sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8} $.

в) Для сравнения $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} $ и $ \text{tg} \frac{6\pi}{5} $ воспользуемся периодичностью тангенса ($ \text{tg}(x+\pi) = \text{tg}(x) $). $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} = \text{tg}(\pi + \frac{2\pi}{7}) = \text{tg} \frac{2\pi}{7} $. $ \text{tg} \frac{6\pi}{5} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{5}) = \text{tg} \frac{\pi}{5} $. Теперь нужно сравнить $ \text{tg} \frac{2\pi}{7} $ и $ \text{tg} \frac{\pi}{5} $. Оба угла, $ \frac{2\pi}{7} $ и $ \frac{\pi}{5} $, находятся в первой четверти, где функция тангенса возрастает. Сравним эти углы, приведя к общему знаменателю 35: $ \frac{2\pi}{7} = \frac{10\pi}{35} $. $ \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{35} $. Поскольку $ \frac{10\pi}{35} > \frac{7\pi}{35} $, то $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{5} $. Так как функция тангенса возрастает, то $ \text{tg} \frac{2\pi}{7} > \text{tg} \frac{\pi}{5} $, следовательно, $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} > \text{tg} \frac{6\pi}{5} $.
Ответ: $ \text{tg} \frac{9\pi}{7} > \text{tg} \frac{6\pi}{5} $.

г) Для сравнения чисел $ \sin \frac{4\pi}{9} $ и $ \sin \frac{3\pi}{8} $ сначала сравним их аргументы. Оба угла, $ \frac{4\pi}{9} $ и $ \frac{3\pi}{8} $, находятся в первой четверти (от $ 0 $ до $ \frac{\pi}{2} $). На этом промежутке функция синуса является возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса. Сравним углы, приведя их к общему знаменателю 72: $ \frac{4\pi}{9} = \frac{4 \cdot 8 \pi}{9 \cdot 8} = \frac{32\pi}{72} $. $ \frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{8 \cdot 9} = \frac{27\pi}{72} $. Поскольку $ \frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72} $, то $ \frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8} $. Так как функция синуса возрастает на этом промежутке, знак неравенства сохраняется: $ \sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8} $.
Ответ: $ \sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8} $.

87.- Расположите числа в порядке возрастания:

а) $ \sin 3,2 $, $ \sin 3,8 $, $ \sin 1,3 $;

б) $ \cos 0,9 $, $ \cos 1,9 $, $ \cos 1,3 $;

в) $ \tan 0,5 $, $ \tan 1,4 $, $ \tan (-0,3) $;

г) $ \sin 1,2 $, $ \sin (-1,2) $, $ \sin 0,8 $.

а) Для того чтобы сравнить числа $ \sin 3,2 $, $ \sin 3,8 $ и $ \sin 1,3 $, определим, в каких координатных четвертях находятся углы, выраженные в радианах. Будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $, тогда $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ 3\pi/2 \approx 4,71 $.

Угол $ 1,3 $ радиан находится в I четверти, так как $ 0 < 1,3 < \pi/2 $. Следовательно, $ \sin 1,3 > 0 $.

Углы $ 3,2 $ и $ 3,8 $ радиан находятся в III четверти, так как $ \pi < 3,2 < 3\pi/2 $ и $ \pi < 3,8 < 3\pi/2 $. В этой четверти значения синуса отрицательны: $ \sin 3,2 < 0 $ и $ \sin 3,8 < 0 $.

Таким образом, $ \sin 1,3 $ является наибольшим числом. Теперь сравним $ \sin 3,2 $ и $ \sin 3,8 $. На промежутке $ [\pi/2, 3\pi/2] $, к которому принадлежат оба угла, функция $ y = \sin x $ является убывающей. Так как $ 3,2 < 3,8 $, то из убывания функции следует, что $ \sin 3,2 > \sin 3,8 $.

В итоге получаем следующее неравенство: $ \sin 3,8 < \sin 3,2 < \sin 1,3 $.

Ответ: $ \sin 3,8 $, $ \sin 3,2 $, $ \sin 1,3 $.

б) Для сравнения чисел $ \cos 0,9 $, $ \cos 1,9 $, $ \cos 1,3 $ определим, в каких четвертях находятся углы. Используем $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $.

Углы $ 0,9 $ и $ 1,3 $ радиан находятся в I четверти ($ 0 < 0,9 < \pi/2 $ и $ 0 < 1,3 < \pi/2 $). В этой четверти косинус положителен: $ \cos 0,9 > 0 $ и $ \cos 1,3 > 0 $.

Угол $ 1,9 $ радиан находится во II четверти ($ \pi/2 < 1,9 < \pi $). В этой четверти косинус отрицателен: $ \cos 1,9 < 0 $.

Следовательно, $ \cos 1,9 $ является наименьшим из трех чисел. Теперь сравним $ \cos 0,9 $ и $ \cos 1,3 $. На промежутке $ [0, \pi] $, к которому принадлежат оба угла, функция $ y = \cos x $ является убывающей. Так как $ 0,9 < 1,3 $, то из убывания функции следует, что $ \cos 0,9 > \cos 1,3 $.

Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $ \cos 1,9 < \cos 1,3 < \cos 0,9 $.

Ответ: $ \cos 1,9 $, $ \cos 1,3 $, $ \cos 0,9 $.

в) Для сравнения чисел $ \tg 0,5 $, $ \tg 1,4 $, $ \tg (-0,3) $ воспользуемся свойством функции тангенса. Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на своем основном периоде $ (-\pi/2, \pi/2) $.

Оценим значения аргументов: $ -\pi/2 \approx -1,57 $, $ \pi/2 \approx 1,57 $. Все три аргумента $ -0,3 $, $ 0,5 $ и $ 1,4 $ принадлежат этому промежутку возрастания.

Сравним аргументы между собой: $ -0,3 < 0,5 < 1,4 $.

Поскольку функция $ y = \tg x $ возрастает на данном интервале, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $ \tg (-0,3) < \tg 0,5 < \tg 1,4 $.

Ответ: $ \tg (-0,3) $, $ \tg 0,5 $, $ \tg 1,4 $.

г) Для сравнения чисел $ \sin 1,2 $, $ \sin (-1,2) $, $ \sin 0,8 $ воспользуемся свойствами функции синуса.

Во-первых, синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому $ \sin(-1,2) = -\sin(1,2) $.

Углы $ 0,8 $ и $ 1,2 $ радиан находятся в I четверти ($ 0 < 0,8 < \pi/2 $ и $ 0 < 1,2 < \pi/2 $, так как $ \pi/2 \approx 1,57 $). В этой четверти синус положителен, значит $ \sin 0,8 > 0 $ и $ \sin 1,2 > 0 $. Отсюда следует, что $ \sin(-1,2) $ — отрицательное число и является наименьшим из трех.

Теперь сравним $ \sin 0,8 $ и $ \sin 1,2 $. На промежутке $ [-\pi/2, \pi/2] $, к которому принадлежат оба угла, функция $ y = \sin x $ является возрастающей. Так как $ 0,8 < 1,2 $, то из возрастания функции следует, что $ \sin 0,8 < \sin 1,2 $.

Объединяя результаты, получаем: $ \sin(-1,2) < \sin 0,8 < \sin 1,2 $.

Ответ: $ \sin(-1,2) $, $ \sin 0,8 $, $ \sin 1,2 $.