Страница 54 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

93.— Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком (рис. 57).

а) б) в) г) Рис. 57

а)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57а:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена на отрезке. Крайние точки $x=-8$ и $x=5$ включены (обозначены закрашенными кружками).
   $D(f) = [-8, 5]$.
2. Область значений ($E(f)$): Наименьшее значение функции, достигаемое на графике, равно -2, а наибольшее равно 5.
   $E(f) = [-2, 5]$.
3. Чётность/нечётность: Область определения $D(f) = [-8, 5]$ не является симметричной относительно нуля, поэтому функция является функцией общего вида (ни чётная, ни нечётная).
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс ($y=0$) в точках $x \approx -6.5$, $x \approx -2.5$, $x \approx 1.5$ и $x = 5$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in [-8, -6.5) \cup (-2.5, 1.5)$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-6.5, -2.5) \cup (1.5, 5)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на промежутках $[-5, -1]$ и $[3, 5]$.
   • Функция убывает на промежутках $[-8, -5]$ и $[-1, 3]$.
7. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min} = -5$ (локальный) и $x_{min} = 3$ (глобальный). Соответствующие значения: $f(-5) = 1$, $f(3) = -2$.
   • Точки максимума: $x_{max} = -1$ (локальный) и $x_{max} = -8$ (глобальный, на краю области определения). Соответствующие значения: $f(-1) = 3$, $f(-8) = 5$.
   • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 5$.
   • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -2$.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. Асимптот нет.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = [-8, 5]$, $E(f) = [-2, 5]$, нули функции $x \approx -6.5, -2.5, 1.5, 5$, функция общего вида, непрерывная. Глобальный максимум $y=5$ при $x=-8$, глобальный минимум $y=-2$ при $x=3$.

б)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57б:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=-2$, где наблюдается разрыв (вертикальная асимптота).
   $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.
2. Область значений ($E(f)$): Функция принимает все значения, кроме значений на отрезке $[y_1, y_2]$, где $y_1$ и $y_2$ - значения, разделенные асимптотой. Судя по графику, горизонтальная асимптота $y=2$. Таким образом, значения функции лежат в объединении интервалов.
   $E(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.
3. Чётность/нечётность: Область определения несимметрична относительно нуля, график также несимметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Функция общего вида.
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс в одной точке: $x=0$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-2, 0)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2)$.
   • Функция возрастает на промежутке $(-2, +\infty)$.
7. Экстремумы функции: Локальных и глобальных максимумов и минимумов у функции нет.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. В точке $x=-2$ функция имеет разрыв второго рода.
   • Вертикальная асимптота: $x=-2$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$, $E(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$, нуль функции $x=0$, функция общего вида. Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=2$.

в)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57в:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена на отрезке от -6 до 6.
   $D(f) = [-6, 6]$.
2. Область значений ($E(f)$): Наименьшее значение функции равно -2, наибольшее равно 2.
   $E(f) = [-2, 2]$.
3. Чётность/нечётность: Область определения $D(f) = [-6, 6]$ симметрична относительно нуля. График симметричен относительно начала координат (например, $f(-2)=2$ и $f(2)=-2$; $f(-6)=-2$ и $f(6)=2$). Следовательно, функция нечётная.
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс в точках $x=-4$, $x=0$ и $x=4$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-4, 0) \cup (4, 6]$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in [-6, -4) \cup (0, 4)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на промежутках $[-6, -2]$ и $[2, 6]$.
   • Функция убывает на промежутке $[-2, 2]$.
7. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min} = 2$ и $x_{min} = -6$ (на краю области). Это глобальные минимумы. Значение: $f(2) = f(-6) = -2$.
   • Точки максимума: $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 6$ (на краю области). Это глобальные максимумы. Значение: $f(-2) = f(6) = 2$.
   • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 2$.
   • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -2$.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. Асимптот нет.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = [-6, 6]$, $E(f) = [-2, 2]$, нули функции $x=-4, 0, 4$, функция нечётная, непрерывная. Глобальный максимум $y=2$ при $x=-2$ и $x=6$, глобальный минимум $y=-2$ при $x=-6$ и $x=2$.

г)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57г:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена на отрезке от -5 до 7.
   $D(f) = [-5, 7]$.
2. Область значений ($E(f)$): Наименьшее значение функции равно -3, наибольшее равно 2.
   $E(f) = [-3, 2]$.
3. Чётность/нечётность: Область определения $D(f) = [-5, 7]$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция является функцией общего вида.
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс в точках $x=-4, x=-1, x=0.75$ и $x=5$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in [-5, -4) \cup (-1, 0.75) \cup (5, 7]$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-4, -1) \cup (0.75, 5)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на промежутках $[-3, 0]$ и $[3, 7]$.
   • Функция убывает на промежутках $[-5, -3]$ и $[0, 3]$.
7. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min} = -3$ (локальный) и $x_{min} = 3$ (глобальный). Значения: $f(-3) = -2$, $f(3) = -3$.
   • Точки максимума: $x_{max} = 0$ (локальный) и $x_{max} = -5, x_{max}=7$ (на краях области, глобальные). Значения: $f(0)=1$, $f(-5)=2$, $f(7)=2$.
   • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 2$.
   • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -3$.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. Асимптот нет.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = [-5, 7]$, $E(f) = [-3, 2]$, нули функции $x=-4, -1, 0.75, 5$, функция общего вида, непрерывная. Глобальный максимум $y=2$ при $x=-5$ и $x=7$, глобальный минимум $y=-3$ при $x=3$.

94.— Постройте график функции $f$, если известны ее свойства (см. табл. на с. 55).

Свойство функции

1. Область определения

Область значений

$[-6; 6]$, $[-2; 5]$

$[-5; 4]$, $[0; 6]$

$[-4; 4]$, $[-3; 6]$

$[-5; 3]$, $[0; 5]$

2. Точки пересечения графика:

а) с осью Ox

$A (-4; 0)$, $B (-2; 0)$

$O (0; 0)$

$A (-4; 0)$, $B (-1; 0)$, $C (2.5; 0)$

$A (3; 0)$

б) с осью Oy

$C (0; 2.5)$

$D (0; -2)$

$B (0; 4.5)$

3. Промежутки знакопостоянства:

а) $f(x) > 0$

$[-6; -4)$, $(-2; 6]$

$[-5; 0)$, $(0; 4]$

$(-4; -1)$, $(2.5; 4]$

$[-5; 3]$

б) $f(x) < 0$

$(-4; -2)$

$(-1; 2.5)$

4. Промежутки:

а) возрастания

$[-3; 1]$, $[4; 6]$

$[-5; -2]$, $[0; 4]$

$[-4; -2]$, $[1; 4]$

$[-3; 1]$

б) убывания

$[-6; -3]$, $[1; 4]$

$[-2; 0]$

$[-2; 1]$

$[-5; -3]$, $[1; 3]$

5. Точки максимума, максимум функции

Точки минимума, минимум функции

$1, f(1) = 3$; $-3, f(-3) = -2$; $4, f(4) = 1$

$-2, f(-2) = 2$; $0, f(0) = 0$

$-2, f(-2) = 2$; $1, f(1) = -3$

$1, f(1) = 5$; $-3, f(-3) = 2$

6. Дополнительные точки графика

$f(-6) = 3$, $f(6) = 5$

$f(-5) = 0.5$, $f(4) = 6$

$f(4) = 6$

$f(-5) = 3$

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $(-6; 3)$ и $(6; 5)$.
– Точки пересечения с осью $Ox$: $A(-4; 0)$ и $B(-2; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Oy$: $C(0; 2,5)$.
– Точки экстремумов: точка минимума $(-3; -2)$, точка максимума $(1; 3)$ и еще одна точка минимума $(4; 1)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки возрастания и убывания функции:
– На промежутке $[-6; -3]$ функция убывает. Проводим кривую от точки $(-6; 3)$ до точки минимума $(-3; -2)$. Эта кривая пересечет ось $Ox$ в точке $A(-4; 0)$.
– На промежутке $[-3; 1]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки минимума $(-3; -2)$ до точки максимума $(1; 3)$, которая пройдет через точки $B(-2; 0)$ и $C(0; 2,5)$.
– На промежутке $[1; 4]$ функция убывает. Соединяем точку максимума $(1; 3)$ с точкой минимума $(4; 1)$.
– На промежутке $[4; 6]$ функция возрастает. Соединяем точку минимума $(4; 1)$ с конечной точкой $(6; 5)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-6; 6]$ и область значений $E(f)=[-2; 5]$ соблюдены. График находится выше оси $Ox$ ($f(x) > 0$) на промежутках $[-6; -4) \cup (-2; 6]$ и ниже оси $Ox$ ($f(x) < 0$) на промежутке $(-4; -2)$, что полностью соответствует данным таблицы.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $(-5; 0,5)$ и $(4; 6)$.
– Точка пересечения с осями $Ox$ и $Oy$: $O(0; 0)$.
– Точки экстремумов: точка максимума $(-2; 2)$ и точка минимума $(0; 0)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки монотонности:
– На промежутке $[-5; -2]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки $(-5; 0,5)$ до точки максимума $(-2; 2)$.
– На промежутке $[-2; 0]$ функция убывает. Соединяем точку максимума $(-2; 2)$ с точкой минимума $(0; 0)$.
– На промежутке $[0; 4]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки минимума $(0; 0)$ до конечной точки $(4; 6)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-5; 4]$ и область значений $E(f)=[0; 6]$ соблюдены. Функция неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на всей области определения, обращаясь в ноль только в точке $x=0$, что соответствует данным таблицы.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $A(-4; 0)$ и $(4; 6)$.
– Точки пересечения с осью $Ox$: $A(-4; 0)$, $B(-1; 0)$ и $C(2,5; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Oy$: $D(0; -2)$.
– Точки экстремумов: точка максимума $(-2; 2)$ и точка минимума $(1; -3)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки монотонности:
– На промежутке $[-4; -2]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки $A(-4; 0)$ до точки максимума $(-2; 2)$.
– На промежутке $[-2; 1]$ функция убывает. Соединяем точку максимума $(-2; 2)$ с точкой минимума $(1; -3)$, при этом кривая проходит через точки $B(-1; 0)$ и $D(0; -2)$.
– На промежутке $[1; 4]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки минимума $(1; -3)$ до конечной точки $(4; 6)$, пересекая ось $Ox$ в точке $C(2,5; 0)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-4; 4]$ и область значений $E(f)=[-3; 6]$ соблюдены. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ на $(-4; -1) \cup (2,5; 4]$ и $f(x) < 0$ на $(-1; 2,5)$, что соответствует поведению построенного графика.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $(-5; 3)$ и $A(3; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Ox$: $A(3; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Oy$: $B(0; 4,5)$.
– Точки экстремумов: точка минимума $(-3; 2)$ и точка максимума $(1; 5)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки монотонности:
– На промежутке $[-5; -3]$ функция убывает. Проводим кривую от точки $(-5; 3)$ до точки минимума $(-3; 2)$.
– На промежутке $[-3; 1]$ функция возрастает. Соединяем точку минимума $(-3; 2)$ с точкой максимума $(1; 5)$, при этом кривая проходит через точку $B(0; 4,5)$.
– На промежутке $[1; 3]$ функция убывает. Проводим кривую от точки максимума $(1; 5)$ до конечной точки $A(3; 0)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-5; 3]$ и область значений $E(f)=[0; 5]$ соблюдены (глобальный минимум достигается в точке $x=3$, а глобальный максимум в точке $x=1$). Функция неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на всей области определения, обращаясь в ноль только в точке $x=3$, что полностью соответствует данным таблицы.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (95—99).

95. а) $f(x) = 5 - 2x;$

б) $f(x) = 3 - 2x - x^2;$

в) $f(x) = 3x - 2;$

г) $f(x) = x^2 - 3x + 2.$

Проведем исследование функции по стандартной схеме.

1. Область определения. Функция является линейной, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. Проверим свойство четности: $f(-x) = 5 - 2(-x) = 5 + 2x$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ (при $x=0$): $f(0) = 5 - 2 \cdot 0 = 5$. Точка пересечения $(0, 5)$.

- С осью $Ox$ (при $f(x)=0$): $5 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. Точка пересечения $(2.5, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства.

- $f(x) > 0$ при $5 - 2x > 0 \Rightarrow x < 2.5$, то есть на интервале $(-\infty, 2.5)$.

- $f(x) < 0$ при $5 - 2x < 0 \Rightarrow x > 2.5$, то есть на интервале $(2.5, +\infty)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. Найдем первую производную: $f'(x) = (5-2x)' = -2$. Так как $f'(x) = -2 < 0$ для всех $x$, функция монотонно убывает на всей области определения $(-\infty, +\infty)$. Точки экстремума отсутствуют.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $f''(x) = (-2)' = 0$. График функции не имеет выпуклости или вогнутости (является прямой линией). Точки перегиба отсутствуют.

7. Область значений. $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

8. Построение графика. График функции — это прямая линия, которая проходит через вычисленные точки пересечения с осями: $(0, 5)$ и $(2.5, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=5-2x$ — линейная, убывающая. Область определения $D(f)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(f)=(-\infty, +\infty)$. Пересекает оси координат в точках $(0, 5)$ и $(2.5, 0)$. Функция общего вида. Экстремумов и точек перегиба нет. График — прямая линия.

Проведем исследование функции. Это квадратичная функция $f(x) = -x^2 - 2x + 3$, ее график — парабола.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = 3 - 2(-x) - (-x)^2 = 3 + 2x - x^2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ ($x=0$): $f(0) = 3$. Точка $(0, 3)$.

- С осью $Ox$ ($f(x)=0$): $-x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Точки $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства. Ветви параболы направлены вниз ($a=-1 < 0$).

- $f(x) > 0$ на интервале между корнями: $(-3, 1)$.

- $f(x) < 0$ на интервалах $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

- Найдем производную: $f'(x) = (-x^2 - 2x + 3)' = -2x - 2$.

- Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow -2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$.

- При $x < -1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. При $x > -1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

- $x=-1$ — точка максимума. Значение в точке максимума: $f(-1) = 3 - 2(-1) - (-1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4$. Вершина параболы: $(-1, 4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (-2x - 2)' = -2$. Так как $f''(x) < 0$ для всех $x$, график функции выпуклый вверх (вогнутый) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Область значений. Максимальное значение функции равно 4, значит $E(f) = (-\infty, 4]$.

8. Построение графика. График — парабола с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке $(-1, 4)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 3)$ и ось $Ox$ в точках $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=3-2x-x^2$ — квадратичная. Область определения $D(f)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(f)=(-\infty, 4]$. Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и убывает на $[-1, +\infty)$. Точка максимума $(-1, 4)$. График — парабола, вогнутая на всей области определения.

Проведем исследование функции по стандартной схеме.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = 3(-x) - 2 = -3x - 2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ ($x=0$): $f(0) = -2$. Точка $(0, -2)$.

- С осью $Ox$ ($f(x)=0$): $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства.

- $f(x) > 0$ при $3x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$, то есть на $(\frac{2}{3}, +\infty)$.

- $f(x) < 0$ при $3x - 2 < 0 \Rightarrow x < \frac{2}{3}$, то есть на $(-\infty, \frac{2}{3})$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума. $f'(x) = (3x-2)' = 3$. Так как $f'(x) = 3 > 0$ для всех $x$, функция монотонно возрастает на $(-\infty, +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (3)' = 0$. График функции — прямая линия. Точек перегиба нет.

7. Область значений. $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

8. Построение графика. График — прямая линия, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=3x-2$ — линейная, возрастающая. Область определения и область значений — все действительные числа. Пересекает оси в точках $(0, -2)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$. Функция общего вида. Экстремумов и точек перегиба нет. График — прямая линия.

Проведем исследование функции. Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) + 2 = x^2 + 3x + 2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью $Oy$ ($x=0$): $f(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.

- С осью $Ox$ ($f(x)=0$): $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = 2$. Точки $(1, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства. Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$).

- $f(x) > 0$ на интервалах $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

- $f(x) < 0$ на интервале $(1, 2)$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

- Найдем производную: $f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

- Критическая точка: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

- При $x < 1.5$, $f'(x) < 0$, функция убывает. При $x > 1.5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- $x=1.5$ — точка минимума. Значение в точке минимума: $f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$. Вершина параболы: $(1.5, -0.25)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (2x - 3)' = 2$. Так как $f''(x) > 0$ для всех $x$, график функции выпуклый вниз (вогнутый) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Область значений. Минимальное значение функции равно -0.25, значит $E(f) = [-0.25, +\infty)$.

8. Построение графика. График — парабола с ветвями, направленными вверх, с вершиной в точке $(1.5, -0.25)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 2)$ и ось $Ox$ в точках $(1, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: Функция $f(x)=x^2-3x+2$ — квадратичная. Область определения $D(f)=(-\infty, +\infty)$, область значений $E(f)=[-0.25, +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty, 1.5]$ и возрастает на $[1.5, +\infty)$. Точка минимума $(1.5, -0.25)$. График — парабола, выпуклая вниз на всей области определения.

96. a) $f(x) = \frac{1}{x} - 2;$

б) $f(x) = -(x - 3)^4;$

в) $f(x) = \frac{1}{x+2};$

г) $f(x) = x^3 - 1.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{x} - 2$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и табличными производными.

Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (\frac{1}{x})' - (2)'$.

Производную функции $\frac{1}{x}$ можно найти, представив ее в виде степенной функции $x^{-1}$. По формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ получаем:$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Производная константы равна нулю: $(2)' = 0$.

Таким образом, итоговая производная: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 0 = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = -(x-3)^4$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Функция является сложной, где внешняя функция $g(u) = -u^4$, а внутренняя функция $u(x) = x-3$.

Правило дифференцирования сложной функции: $(g(u(x)))' = g'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производную внешней функции по ее аргументу $u$: $g'(u) = (-u^4)' = -4u^3$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x-3)' = 1$.

Теперь подставляем полученные выражения в формулу, заменяя $u$ на $x-3$:

$f'(x) = -4(x-3)^3 \cdot 1 = -4(x-3)^3$.

Ответ: $f'(x) = -4(x-3)^3$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{x+2}$ представим ее в виде степенной функции и воспользуемся цепным правилом.

$f(x) = (x+2)^{-1}$.

Это сложная функция, где внешняя функция $g(u) = u^{-1}$, а внутренняя $u(x) = x+2$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (x+2)' = 1$.

По цепному правилу производная исходной функции равна:

$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 - 1$ используем правило дифференцирования разности и основные формулы.

$f'(x) = (x^3 - 1)' = (x^3)' - (1)'$.

Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Производная константы равна нулю: $(1)'=0$.

Следовательно, производная функции равна: $f'(x) = 3x^2 - 0 = 3x^2$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2$.

97. a) $f(x) = \sqrt{x-3}$

б) $f(x) = 4x - x^2$

В) $f(x) = \sqrt{x+1}$

г) $f(x) = 4 - x^2$

а) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{x-3}$ необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Это связано с тем, что в области действительных чисел нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Составим и решим неравенство:

$x - 3 \ge 0$

Перенесем -3 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 3$

Таким образом, область определения функции представляет собой числовой промежуток от 3 (включительно) до плюс бесконечности.

Ответ: $D(f) = [3, +\infty)$

б) Функция $f(x) = 4x - x^2$ является квадратичной функцией, которая относится к классу многочленов. Для многочленов область определения — это множество всех действительных чисел, так как арифметические операции (умножение, вычитание, возведение в степень), используемые в формуле, определены для любого действительного числа $x$.

Ограничений на значения $x$ (таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа) в данном выражении нет.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$

в) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ нужно, чтобы подкоренное выражение было больше или равно нулю.

Запишем соответствующее неравенство:

$x + 1 \ge 0$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$x \ge -1$

Следовательно, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -1.

Ответ: $D(f) = [-1, +\infty)$

г) Функция $f(x) = 4 - x^2$ является квадратичной функцией, то есть многочленом. Как и в пункте б), область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, поскольку для любого действительного $x$ можно выполнить указанные в формуле операции.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$