Номер 97, страница 54 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 97, страница 54.

Условие.

97. a) $f(x) = \sqrt{x-3}$

б) $f(x) = 4x - x^2$

В) $f(x) = \sqrt{x+1}$

г) $f(x) = 4 - x^2$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{x-3}$ необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Это связано с тем, что в области действительных чисел нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Составим и решим неравенство:

$x - 3 \ge 0$

Перенесем -3 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 3$

Таким образом, область определения функции представляет собой числовой промежуток от 3 (включительно) до плюс бесконечности.

Ответ: $D(f) = [3, +\infty)$

б) Функция $f(x) = 4x - x^2$ является квадратичной функцией, которая относится к классу многочленов. Для многочленов область определения — это множество всех действительных чисел, так как арифметические операции (умножение, вычитание, возведение в степень), используемые в формуле, определены для любого действительного числа $x$.

Ограничений на значения $x$ (таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа) в данном выражении нет.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$

в) Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ нужно, чтобы подкоренное выражение было больше или равно нулю.

Запишем соответствующее неравенство:

$x + 1 \ge 0$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$x \ge -1$

Следовательно, функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -1.

Ответ: $D(f) = [-1, +\infty)$

г) Функция $f(x) = 4 - x^2$ является квадратичной функцией, то есть многочленом. Как и в пункте б), область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, поскольку для любого действительного $x$ можно выполнить указанные в формуле операции.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$