Номер 93, страница 54 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 93, страница 54.

Условие.

93.— Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком (рис. 57).

а) б) в) г) Рис. 57

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57а:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена на отрезке. Крайние точки $x=-8$ и $x=5$ включены (обозначены закрашенными кружками).
   $D(f) = [-8, 5]$.
2. Область значений ($E(f)$): Наименьшее значение функции, достигаемое на графике, равно -2, а наибольшее равно 5.
   $E(f) = [-2, 5]$.
3. Чётность/нечётность: Область определения $D(f) = [-8, 5]$ не является симметричной относительно нуля, поэтому функция является функцией общего вида (ни чётная, ни нечётная).
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс ($y=0$) в точках $x \approx -6.5$, $x \approx -2.5$, $x \approx 1.5$ и $x = 5$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in [-8, -6.5) \cup (-2.5, 1.5)$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-6.5, -2.5) \cup (1.5, 5)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на промежутках $[-5, -1]$ и $[3, 5]$.
   • Функция убывает на промежутках $[-8, -5]$ и $[-1, 3]$.
7. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min} = -5$ (локальный) и $x_{min} = 3$ (глобальный). Соответствующие значения: $f(-5) = 1$, $f(3) = -2$.
   • Точки максимума: $x_{max} = -1$ (локальный) и $x_{max} = -8$ (глобальный, на краю области определения). Соответствующие значения: $f(-1) = 3$, $f(-8) = 5$.
   • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 5$.
   • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -2$.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. Асимптот нет.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = [-8, 5]$, $E(f) = [-2, 5]$, нули функции $x \approx -6.5, -2.5, 1.5, 5$, функция общего вида, непрерывная. Глобальный максимум $y=5$ при $x=-8$, глобальный минимум $y=-2$ при $x=3$.

б)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57б:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=-2$, где наблюдается разрыв (вертикальная асимптота).
   $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.
2. Область значений ($E(f)$): Функция принимает все значения, кроме значений на отрезке $[y_1, y_2]$, где $y_1$ и $y_2$ - значения, разделенные асимптотой. Судя по графику, горизонтальная асимптота $y=2$. Таким образом, значения функции лежат в объединении интервалов.
   $E(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.
3. Чётность/нечётность: Область определения несимметрична относительно нуля, график также несимметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Функция общего вида.
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс в одной точке: $x=0$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-2, 0)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2)$.
   • Функция возрастает на промежутке $(-2, +\infty)$.
7. Экстремумы функции: Локальных и глобальных максимумов и минимумов у функции нет.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. В точке $x=-2$ функция имеет разрыв второго рода.
   • Вертикальная асимптота: $x=-2$.
   • Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$, $E(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$, нуль функции $x=0$, функция общего вида. Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=2$.

в)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57в:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена на отрезке от -6 до 6.
   $D(f) = [-6, 6]$.
2. Область значений ($E(f)$): Наименьшее значение функции равно -2, наибольшее равно 2.
   $E(f) = [-2, 2]$.
3. Чётность/нечётность: Область определения $D(f) = [-6, 6]$ симметрична относительно нуля. График симметричен относительно начала координат (например, $f(-2)=2$ и $f(2)=-2$; $f(-6)=-2$ и $f(6)=2$). Следовательно, функция нечётная.
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс в точках $x=-4$, $x=0$ и $x=4$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-4, 0) \cup (4, 6]$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in [-6, -4) \cup (0, 4)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на промежутках $[-6, -2]$ и $[2, 6]$.
   • Функция убывает на промежутке $[-2, 2]$.
7. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min} = 2$ и $x_{min} = -6$ (на краю области). Это глобальные минимумы. Значение: $f(2) = f(-6) = -2$.
   • Точки максимума: $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 6$ (на краю области). Это глобальные максимумы. Значение: $f(-2) = f(6) = 2$.
   • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 2$.
   • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -2$.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. Асимптот нет.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = [-6, 6]$, $E(f) = [-2, 2]$, нули функции $x=-4, 0, 4$, функция нечётная, непрерывная. Глобальный максимум $y=2$ при $x=-2$ и $x=6$, глобальный минимум $y=-2$ при $x=-6$ и $x=2$.

г)

Исследование функции, заданной графиком на рис. 57г:

1. Область определения ($D(f)$): Функция определена на отрезке от -5 до 7.
   $D(f) = [-5, 7]$.
2. Область значений ($E(f)$): Наименьшее значение функции равно -3, наибольшее равно 2.
   $E(f) = [-3, 2]$.
3. Чётность/нечётность: Область определения $D(f) = [-5, 7]$ несимметрична относительно нуля, поэтому функция является функцией общего вида.
4. Нули функции: График пересекает ось абсцисс в точках $x=-4, x=-1, x=0.75$ и $x=5$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in [-5, -4) \cup (-1, 0.75) \cup (5, 7]$.
   • Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-4, -1) \cup (0.75, 5)$.
6. Промежутки монотонности:
   • Функция возрастает на промежутках $[-3, 0]$ и $[3, 7]$.
   • Функция убывает на промежутках $[-5, -3]$ и $[0, 3]$.
7. Экстремумы функции:
   • Точки минимума: $x_{min} = -3$ (локальный) и $x_{min} = 3$ (глобальный). Значения: $f(-3) = -2$, $f(3) = -3$.
   • Точки максимума: $x_{max} = 0$ (локальный) и $x_{max} = -5, x_{max}=7$ (на краях области, глобальные). Значения: $f(0)=1$, $f(-5)=2$, $f(7)=2$.
   • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 2$.
   • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -3$.
8. Непрерывность и асимптоты: Функция непрерывна на всей области определения. Асимптот нет.

Ответ: Проведено исследование функции. Основные свойства: $D(f) = [-5, 7]$, $E(f) = [-3, 2]$, нули функции $x=-4, -1, 0.75, 5$, функция общего вида, непрерывная. Глобальный максимум $y=2$ при $x=-5$ и $x=7$, глобальный минимум $y=-3$ при $x=3$.