Номер 94, страница 54 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 94, страница 54.

Условие.

94.— Постройте график функции $f$, если известны ее свойства (см. табл. на с. 55).

Свойство функции

1. Область определения

Область значений

$[-6; 6]$, $[-2; 5]$

$[-5; 4]$, $[0; 6]$

$[-4; 4]$, $[-3; 6]$

$[-5; 3]$, $[0; 5]$

2. Точки пересечения графика:

а) с осью Ox

$A (-4; 0)$, $B (-2; 0)$

$O (0; 0)$

$A (-4; 0)$, $B (-1; 0)$, $C (2.5; 0)$

$A (3; 0)$

б) с осью Oy

$C (0; 2.5)$

$D (0; -2)$

$B (0; 4.5)$

3. Промежутки знакопостоянства:

а) $f(x) > 0$

$[-6; -4)$, $(-2; 6]$

$[-5; 0)$, $(0; 4]$

$(-4; -1)$, $(2.5; 4]$

$[-5; 3]$

б) $f(x) < 0$

$(-4; -2)$

$(-1; 2.5)$

4. Промежутки:

а) возрастания

$[-3; 1]$, $[4; 6]$

$[-5; -2]$, $[0; 4]$

$[-4; -2]$, $[1; 4]$

$[-3; 1]$

б) убывания

$[-6; -3]$, $[1; 4]$

$[-2; 0]$

$[-2; 1]$

$[-5; -3]$, $[1; 3]$

5. Точки максимума, максимум функции

Точки минимума, минимум функции

$1, f(1) = 3$; $-3, f(-3) = -2$; $4, f(4) = 1$

$-2, f(-2) = 2$; $0, f(0) = 0$

$-2, f(-2) = 2$; $1, f(1) = -3$

$1, f(1) = 5$; $-3, f(-3) = 2$

6. Дополнительные точки графика

$f(-6) = 3$, $f(6) = 5$

$f(-5) = 0.5$, $f(4) = 6$

$f(4) = 6$

$f(-5) = 3$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $(-6; 3)$ и $(6; 5)$.
– Точки пересечения с осью $Ox$: $A(-4; 0)$ и $B(-2; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Oy$: $C(0; 2,5)$.
– Точки экстремумов: точка минимума $(-3; -2)$, точка максимума $(1; 3)$ и еще одна точка минимума $(4; 1)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки возрастания и убывания функции:
– На промежутке $[-6; -3]$ функция убывает. Проводим кривую от точки $(-6; 3)$ до точки минимума $(-3; -2)$. Эта кривая пересечет ось $Ox$ в точке $A(-4; 0)$.
– На промежутке $[-3; 1]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки минимума $(-3; -2)$ до точки максимума $(1; 3)$, которая пройдет через точки $B(-2; 0)$ и $C(0; 2,5)$.
– На промежутке $[1; 4]$ функция убывает. Соединяем точку максимума $(1; 3)$ с точкой минимума $(4; 1)$.
– На промежутке $[4; 6]$ функция возрастает. Соединяем точку минимума $(4; 1)$ с конечной точкой $(6; 5)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-6; 6]$ и область значений $E(f)=[-2; 5]$ соблюдены. График находится выше оси $Ox$ ($f(x) > 0$) на промежутках $[-6; -4) \cup (-2; 6]$ и ниже оси $Ox$ ($f(x) < 0$) на промежутке $(-4; -2)$, что полностью соответствует данным таблицы.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

б)

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $(-5; 0,5)$ и $(4; 6)$.
– Точка пересечения с осями $Ox$ и $Oy$: $O(0; 0)$.
– Точки экстремумов: точка максимума $(-2; 2)$ и точка минимума $(0; 0)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки монотонности:
– На промежутке $[-5; -2]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки $(-5; 0,5)$ до точки максимума $(-2; 2)$.
– На промежутке $[-2; 0]$ функция убывает. Соединяем точку максимума $(-2; 2)$ с точкой минимума $(0; 0)$.
– На промежутке $[0; 4]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки минимума $(0; 0)$ до конечной точки $(4; 6)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-5; 4]$ и область значений $E(f)=[0; 6]$ соблюдены. Функция неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на всей области определения, обращаясь в ноль только в точке $x=0$, что соответствует данным таблицы.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

в)

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $A(-4; 0)$ и $(4; 6)$.
– Точки пересечения с осью $Ox$: $A(-4; 0)$, $B(-1; 0)$ и $C(2,5; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Oy$: $D(0; -2)$.
– Точки экстремумов: точка максимума $(-2; 2)$ и точка минимума $(1; -3)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки монотонности:
– На промежутке $[-4; -2]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки $A(-4; 0)$ до точки максимума $(-2; 2)$.
– На промежутке $[-2; 1]$ функция убывает. Соединяем точку максимума $(-2; 2)$ с точкой минимума $(1; -3)$, при этом кривая проходит через точки $B(-1; 0)$ и $D(0; -2)$.
– На промежутке $[1; 4]$ функция возрастает. Проводим кривую от точки минимума $(1; -3)$ до конечной точки $(4; 6)$, пересекая ось $Ox$ в точке $C(2,5; 0)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-4; 4]$ и область значений $E(f)=[-3; 6]$ соблюдены. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ на $(-4; -1) \cup (2,5; 4]$ и $f(x) < 0$ на $(-1; 2,5)$, что соответствует поведению построенного графика.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.

г)

Для построения графика функции $f$ на основе её свойств, выполним следующие шаги:

1. Отметим на координатной плоскости все ключевые точки, указанные в таблице:
– Концы области определения: $(-5; 3)$ и $A(3; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Ox$: $A(3; 0)$.
– Точка пересечения с осью $Oy$: $B(0; 4,5)$.
– Точки экстремумов: точка минимума $(-3; 2)$ и точка максимума $(1; 5)$.

2. Соединим отмеченные точки плавными линиями, учитывая промежутки монотонности:
– На промежутке $[-5; -3]$ функция убывает. Проводим кривую от точки $(-5; 3)$ до точки минимума $(-3; 2)$.
– На промежутке $[-3; 1]$ функция возрастает. Соединяем точку минимума $(-3; 2)$ с точкой максимума $(1; 5)$, при этом кривая проходит через точку $B(0; 4,5)$.
– На промежутке $[1; 3]$ функция убывает. Проводим кривую от точки максимума $(1; 5)$ до конечной точки $A(3; 0)$.

3. Проверим соответствие полученного графика остальным свойствам. Область определения $D(f)=[-5; 3]$ и область значений $E(f)=[0; 5]$ соблюдены (глобальный минимум достигается в точке $x=3$, а глобальный максимум в точке $x=1$). Функция неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на всей области определения, обращаясь в ноль только в точке $x=3$, что полностью соответствует данным таблицы.

Ответ: График функции строится путем последовательного соединения указанных ключевых точек плавной кривой в соответствии с интервалами возрастания и убывания.