Номер 91, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 91, страница 48.
№91 (с. 48)
Условие. №91 (с. 48)
скриншот условия

91. Докажите, что функция:
a) $f(x) = x^4 + 3x$ возрастает на $[0; \infty)$;
б) $f(x) = -x^3 - 2x$ убывает на $\mathbb{R}$;
в) $f(x) = x^6 - 0,5$ убывает на $(-\infty; 0];
г) $f(x) = x^5 + 1,5x$ возрастает на $\mathbb{R}$.
Решение 1. №91 (с. 48)


Решение 3. №91 (с. 48)

Решение 4. №91 (с. 48)


Решение 5. №91 (с. 48)
Для доказательства монотонности функции на заданном промежутке используется производная. Если производная функции $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает. Если $f'(x) \geq 0$ (или $f'(x) \leq 0$) и равенство нулю достигается лишь в отдельных точках, то функция также является возрастающей (соответственно, убывающей).
а)
Дана функция $f(x) = x^4 + 3x$. Требуется доказать, что она возрастает на промежутке $[0; \infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 3x)' = 4x^3 + 3$.
Определим знак производной на заданном промежутке $x \in [0; \infty)$.
Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$.
Следовательно, $4x^3 \ge 0$, и $f'(x) = 4x^3 + 3 \ge 3$.
Так как производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $[0; \infty)$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом промежутке.
Ответ: Доказано.
б)
Дана функция $f(x) = -x^3 - 2x$. Требуется доказать, что она убывает на $R$ (на всей числовой прямой).
Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^3 - 2x)' = -3x^2 - 2$.
Определим знак производной для любого действительного числа $x$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Тогда $-3x^2 \le 0$.
Следовательно, $f'(x) = -3x^2 - 2 \le -2$.
Так как производная $f'(x) < 0$ для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.
в)
Дана функция $f(x) = x^6 - 0,5$. Требуется доказать, что она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^6 - 0,5)' = 6x^5$.
Рассмотрим знак производной на заданном промежутке $x \in (-\infty; 0]$.
Если $x < 0$, то $x$ в нечетной степени ($x^5$) будет отрицательным, то есть $x^5 < 0$.
Если $x = 0$, то $x^5 = 0$.
Таким образом, для всех $x \in (-\infty; 0]$ выполняется неравенство $f'(x) = 6x^5 \le 0$.
Так как производная $f'(x) \le 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$ и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Ответ: Доказано.
г)
Дана функция $f(x) = x^5 + 1,5x$. Требуется доказать, что она возрастает на $R$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 1,5x)' = 5x^4 + 1,5$.
Определим знак производной для любого действительного числа $x$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, так как $x$ возводится в четную степень: $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Тогда $5x^4 \ge 0$.
Следовательно, $f'(x) = 5x^4 + 1,5 \ge 1,5$.
Так как производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 91 расположенного на странице 48 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №91 (с. 48), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.