Номер 91, страница 48 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 91, страница 48.

Условие.

91. Докажите, что функция:

a) $f(x) = x^4 + 3x$ возрастает на $[0; \infty)$;

б) $f(x) = -x^3 - 2x$ убывает на $\mathbb{R}$;

в) $f(x) = x^6 - 0,5$ убывает на $(-\infty; 0];

г) $f(x) = x^5 + 1,5x$ возрастает на $\mathbb{R}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства монотонности функции на заданном промежутке используется производная. Если производная функции $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает. Если $f'(x) \geq 0$ (или $f'(x) \leq 0$) и равенство нулю достигается лишь в отдельных точках, то функция также является возрастающей (соответственно, убывающей).

а)

Дана функция $f(x) = x^4 + 3x$. Требуется доказать, что она возрастает на промежутке $[0; \infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 3x)' = 4x^3 + 3$.

Определим знак производной на заданном промежутке $x \in [0; \infty)$.

Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$.

Следовательно, $4x^3 \ge 0$, и $f'(x) = 4x^3 + 3 \ge 3$.

Так как производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $[0; \infty)$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

б)

Дана функция $f(x) = -x^3 - 2x$. Требуется доказать, что она убывает на $R$ (на всей числовой прямой).

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^3 - 2x)' = -3x^2 - 2$.

Определим знак производной для любого действительного числа $x$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.

Тогда $-3x^2 \le 0$.

Следовательно, $f'(x) = -3x^2 - 2 \le -2$.

Так как производная $f'(x) < 0$ для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.

в)

Дана функция $f(x) = x^6 - 0,5$. Требуется доказать, что она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^6 - 0,5)' = 6x^5$.

Рассмотрим знак производной на заданном промежутке $x \in (-\infty; 0]$.

Если $x < 0$, то $x$ в нечетной степени ($x^5$) будет отрицательным, то есть $x^5 < 0$.

Если $x = 0$, то $x^5 = 0$.

Таким образом, для всех $x \in (-\infty; 0]$ выполняется неравенство $f'(x) = 6x^5 \le 0$.

Так как производная $f'(x) \le 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$ и равна нулю лишь в одной точке $x=0$, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

г)

Дана функция $f(x) = x^5 + 1,5x$. Требуется доказать, что она возрастает на $R$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 1,5x)' = 5x^4 + 1,5$.

Определим знак производной для любого действительного числа $x$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, так как $x$ возводится в четную степень: $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.

Тогда $5x^4 \ge 0$.

Следовательно, $f'(x) = 5x^4 + 1,5 \ge 1,5$.

Так как производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.