Номер 87, страница 47 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 87, страница 47.

Условие.

87.- Расположите числа в порядке возрастания:

а) $ \sin 3,2 $, $ \sin 3,8 $, $ \sin 1,3 $;

б) $ \cos 0,9 $, $ \cos 1,9 $, $ \cos 1,3 $;

в) $ \tan 0,5 $, $ \tan 1,4 $, $ \tan (-0,3) $;

г) $ \sin 1,2 $, $ \sin (-1,2) $, $ \sin 0,8 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы сравнить числа $ \sin 3,2 $, $ \sin 3,8 $ и $ \sin 1,3 $, определим, в каких координатных четвертях находятся углы, выраженные в радианах. Будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3,14 $, тогда $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ 3\pi/2 \approx 4,71 $.

Угол $ 1,3 $ радиан находится в I четверти, так как $ 0 < 1,3 < \pi/2 $. Следовательно, $ \sin 1,3 > 0 $.

Углы $ 3,2 $ и $ 3,8 $ радиан находятся в III четверти, так как $ \pi < 3,2 < 3\pi/2 $ и $ \pi < 3,8 < 3\pi/2 $. В этой четверти значения синуса отрицательны: $ \sin 3,2 < 0 $ и $ \sin 3,8 < 0 $.

Таким образом, $ \sin 1,3 $ является наибольшим числом. Теперь сравним $ \sin 3,2 $ и $ \sin 3,8 $. На промежутке $ [\pi/2, 3\pi/2] $, к которому принадлежат оба угла, функция $ y = \sin x $ является убывающей. Так как $ 3,2 < 3,8 $, то из убывания функции следует, что $ \sin 3,2 > \sin 3,8 $.

В итоге получаем следующее неравенство: $ \sin 3,8 < \sin 3,2 < \sin 1,3 $.

Ответ: $ \sin 3,8 $, $ \sin 3,2 $, $ \sin 1,3 $.

б) Для сравнения чисел $ \cos 0,9 $, $ \cos 1,9 $, $ \cos 1,3 $ определим, в каких четвертях находятся углы. Используем $ \pi/2 \approx 1,57 $ и $ \pi \approx 3,14 $.

Углы $ 0,9 $ и $ 1,3 $ радиан находятся в I четверти ($ 0 < 0,9 < \pi/2 $ и $ 0 < 1,3 < \pi/2 $). В этой четверти косинус положителен: $ \cos 0,9 > 0 $ и $ \cos 1,3 > 0 $.

Угол $ 1,9 $ радиан находится во II четверти ($ \pi/2 < 1,9 < \pi $). В этой четверти косинус отрицателен: $ \cos 1,9 < 0 $.

Следовательно, $ \cos 1,9 $ является наименьшим из трех чисел. Теперь сравним $ \cos 0,9 $ и $ \cos 1,3 $. На промежутке $ [0, \pi] $, к которому принадлежат оба угла, функция $ y = \cos x $ является убывающей. Так как $ 0,9 < 1,3 $, то из убывания функции следует, что $ \cos 0,9 > \cos 1,3 $.

Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $ \cos 1,9 < \cos 1,3 < \cos 0,9 $.

Ответ: $ \cos 1,9 $, $ \cos 1,3 $, $ \cos 0,9 $.

в) Для сравнения чисел $ \tg 0,5 $, $ \tg 1,4 $, $ \tg (-0,3) $ воспользуемся свойством функции тангенса. Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на своем основном периоде $ (-\pi/2, \pi/2) $.

Оценим значения аргументов: $ -\pi/2 \approx -1,57 $, $ \pi/2 \approx 1,57 $. Все три аргумента $ -0,3 $, $ 0,5 $ и $ 1,4 $ принадлежат этому промежутку возрастания.

Сравним аргументы между собой: $ -0,3 < 0,5 < 1,4 $.

Поскольку функция $ y = \tg x $ возрастает на данном интервале, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $ \tg (-0,3) < \tg 0,5 < \tg 1,4 $.

Ответ: $ \tg (-0,3) $, $ \tg 0,5 $, $ \tg 1,4 $.

г) Для сравнения чисел $ \sin 1,2 $, $ \sin (-1,2) $, $ \sin 0,8 $ воспользуемся свойствами функции синуса.

Во-первых, синус — нечетная функция, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому $ \sin(-1,2) = -\sin(1,2) $.

Углы $ 0,8 $ и $ 1,2 $ радиан находятся в I четверти ($ 0 < 0,8 < \pi/2 $ и $ 0 < 1,2 < \pi/2 $, так как $ \pi/2 \approx 1,57 $). В этой четверти синус положителен, значит $ \sin 0,8 > 0 $ и $ \sin 1,2 > 0 $. Отсюда следует, что $ \sin(-1,2) $ — отрицательное число и является наименьшим из трех.

Теперь сравним $ \sin 0,8 $ и $ \sin 1,2 $. На промежутке $ [-\pi/2, \pi/2] $, к которому принадлежат оба угла, функция $ y = \sin x $ является возрастающей. Так как $ 0,8 < 1,2 $, то из возрастания функции следует, что $ \sin 0,8 < \sin 1,2 $.

Объединяя результаты, получаем: $ \sin(-1,2) < \sin 0,8 < \sin 1,2 $.

Ответ: $ \sin(-1,2) $, $ \sin 0,8 $, $ \sin 1,2 $.