Номер 96, страница 54 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Основные свойства функций. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 96, страница 54.

Условие.

96. a) $f(x) = \frac{1}{x} - 2;$

б) $f(x) = -(x - 3)^4;$

в) $f(x) = \frac{1}{x+2};$

г) $f(x) = x^3 - 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{x} - 2$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и табличными производными.

Производная разности функций равна разности их производных: $f'(x) = (\frac{1}{x})' - (2)'$.

Производную функции $\frac{1}{x}$ можно найти, представив ее в виде степенной функции $x^{-1}$. По формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ получаем:$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Производная константы равна нулю: $(2)' = 0$.

Таким образом, итоговая производная: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 0 = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = -(x-3)^4$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Функция является сложной, где внешняя функция $g(u) = -u^4$, а внутренняя функция $u(x) = x-3$.

Правило дифференцирования сложной функции: $(g(u(x)))' = g'(u) \cdot u'(x)$.

Находим производную внешней функции по ее аргументу $u$: $g'(u) = (-u^4)' = -4u^3$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x-3)' = 1$.

Теперь подставляем полученные выражения в формулу, заменяя $u$ на $x-3$:

$f'(x) = -4(x-3)^3 \cdot 1 = -4(x-3)^3$.

Ответ: $f'(x) = -4(x-3)^3$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{x+2}$ представим ее в виде степенной функции и воспользуемся цепным правилом.

$f(x) = (x+2)^{-1}$.

Это сложная функция, где внешняя функция $g(u) = u^{-1}$, а внутренняя $u(x) = x+2$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (x+2)' = 1$.

По цепному правилу производная исходной функции равна:

$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 - 1$ используем правило дифференцирования разности и основные формулы.

$f'(x) = (x^3 - 1)' = (x^3)' - (1)'$.

Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

Производная константы равна нулю: $(1)'=0$.

Следовательно, производная функции равна: $f'(x) = 3x^2 - 0 = 3x^2$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2$.