Страница 46 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

77.— Для функций, графики которых изображены на рисунке 48, а—г, найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) точки максимума и минимума функции;

в) экстремумы функции.

Поскольку изображения с графиками (рисунок 48, а-г) не предоставлены, ниже приведено развернутое объяснение, как выполнить это задание для любого графика функции.

а) промежутки возрастания и убывания функции;

Промежутки возрастания и убывания определяются по поведению графика функции при движении по нему слева направо (в направлении увеличения значения $x$).
- Промежуток возрастания: это интервал (или интервалы) по оси абсцисс ($x$), на котором график функции "поднимается вверх". Математически это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то и значение функции $f(x_1) < f(x_2)$.
- Промежуток убывания: это интервал (или интервалы) по оси абсцисс ($x$), на котором график функции "опускается вниз". Математически это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
Для нахождения этих промежутков необходимо визуально определить на оси $x$ участки, где график непрерывно идет вверх, и участки, где он непрерывно идет вниз. Точки, в которых направление движения меняется (точки экстремума), обычно включают в оба промежутка. Например, если функция возрастает на $(-\infty, 2]$ и убывает на $[2, +\infty)$, то так и записывается в ответе.
Как найти на графике: Посмотрите, на каких интервалах оси $x$ линия графика идет вверх, а на каких — вниз.
Ответ: Промежутки возрастания: [укажите интервалы]; Промежутки убывания: [укажите интервалы].

б) точки максимума и минимума функции;

Точки максимума и минимума (также известные как точки экстремума) — это значения аргумента (координаты $x$), в которых происходит смена характера монотонности функции.
- Точка максимума ($x_{max}$): это значение $x$, в котором возрастание функции сменяется убыванием. На графике это соответствует "вершине холма".
- Точка минимума ($x_{min}$): это значение $x$, в котором убывание функции сменяется возрастанием. На графике это соответствует "дну впадины".
У функции может быть несколько точек максимума и минимума. Необходимо перечислить $x$-координаты всех таких точек на графике.
Как найти на графике: Найдите все "вершины" и "впадины" на кривой. Запишите их координаты по оси $x$.
Ответ: Точки максимума: $x_{max} = ...$; Точки минимума: $x_{min} = ...$.

в) экстремумы функции.

Экстремумы функции — это значения функции (координаты $y$) в точках экстремума.
- Максимум функции ($y_{max}$): это значение функции в точке максимума, то есть $y_{max} = f(x_{max})$.
- Минимум функции ($y_{min}$): это значение функции в точке минимума, то есть $y_{min} = f(x_{min})$.
Для нахождения экстремумов нужно определить значения по оси $y$, которые соответствуют найденным в пункте б) точкам максимума и минимума.
Как найти на графике: Для каждой найденной точки максимума $x_{max}$ и минимума $x_{min}$ определите соответствующую им координату по оси $y$.
Ответ: Максимумы функции: $y_{max} = ...$; Минимумы функции: $y_{min} = ...$.

Начертите эскиз графика функции $f$ (78–80).

78. a) $f$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; \infty)$;

б) $f$ возрастает на промежутках $(-\infty; 2]$ и $[0; 3]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[3; \infty)$;

в) $f$ убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[4; \infty)$, возрастает на промежутке $[1; 4]$.

a)

б)

в)

г)

Рис. 48

Поскольку в задании имеется явное несоответствие между текстовыми описаниями свойств функций (пункты а, б, в) и представленными графиками (рисунки а, б, в, г), невозможно установить однозначное соответствие между ними. Наиболее корректным решением в данной ситуации является подробный анализ каждого из четырех графиков. Для ясности, подпункты в ответе соответствуют обозначениям графиков на Рис. 48.

Анализируя график функции на Рис. 48, а), можно определить ее промежутки монотонности. Функция возрастает на интервалах, где ее график направлен вверх, и убывает, где он направлен вниз. Точки, в которых направление меняется, являются точками экстремума. На данном графике функция возрастает до $x = -5$ (локальный максимум), затем убывает до $x = 1$ (локальный минимум), снова возрастает до $x = 5$ (локальный максимум) и после этого убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[1; 5]$, убывает на промежутках $[-5; 1]$ и $[5; \infty)$.

На графике, обозначенном буквой б), функция возрастает до $x = -4$ (локальный максимум), затем убывает до $x = -2$ (локальный минимум). После этого она возрастает до $x = 4$ (локальный максимум) и далее убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[-2; 4]$, убывает на промежутках $[-4; -2]$ и $[4; \infty)$.

На графике, обозначенном буквой в), функция сначала убывает до $x = -3$ (локальный минимум), а затем возрастает до $x = 2$ (локальный максимум). После точки максимума функция снова убывает.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-3; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[2; \infty)$.

График г) представляет функцию, определенную на отрезке $[-6; 6]$. Функция убывает на отрезке от $x = -6$ до $x = -4$ (локальный минимум), возрастает до $x = -2$ (локальный максимум), убывает до $x = 0$ (локальный минимум), возрастает до $x = 2$ (локальный максимум), убывает до $x = 4$ (локальный минимум) и, наконец, возрастает до $x = 6$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$, $[0; 2]$ и $[4; 6]$, убывает на промежутках $[-6; -4]$, $[-2; 0]$ и $[2; 4]$.