Страница 38 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

61.— На рисунке 37, а—г построен график функции $f$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0$ ($x \le 0$). Постройте график функции $f$, если известно:

1) $f$ — четная функция;

2) $f$ — нечетная функция.

Для решения этой задачи необходимо использовать определения четной и нечетной функций и их свойства симметрии.

В задаче дан график функции f для x ≥ 0 (или для x ≤ 0). Нам нужно достроить его для x < 0 (или для x > 0) в двух случаях.

1) f – четная функция;

Четная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для всех x из области определения. Главное графическое свойство такой функции — ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Чтобы достроить график, необходимо отразить уже имеющуюся его часть симметрично относительно оси Oy. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на известной части графика будет соответствовать точка $(-x_0, y_0)$ на недостающей части. Если график дан для x ≥ 0, его нужно отразить в левую полуплоскость. Если график дан для x ≤ 0, его отражают в правую полуплоскость.

Ответ: Для построения полного графика четной функции необходимо симметрично отразить заданную его часть относительно оси ординат Oy.

2) f – нечетная функция.

Нечетная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для всех x из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки (0, 0). Из определения следует, что если 0 принадлежит области определения, то $f(0) = -f(0)$, что равносильно $2f(0) = 0$, а значит $f(0) = 0$. Поэтому, если на заданном участке графика $f(0) \neq 0$, достроить его до графика нечетной функции невозможно. Если же условие $f(0) = 0$ выполнено, то для построения недостающей части графика нужно отразить имеющуюся часть симметрично относительно начала координат. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на известной части графика будет соответствовать точка $(-x_0, -y_0)$ на недостающей части. Это преобразование равносильно двум последовательным отражениям: относительно оси Ox и затем относительно оси Oy (или наоборот).

Ответ: Для построения полного графика нечетной функции необходимо симметрично отразить заданную его часть относительно начала координат. Это возможно только при условии, что $f(0) = 0$ (если функция определена в точке 0).

62. — Докажите, что число $T$ является периодом функции $f$, если:

а) $f(x) = \sin \frac{x}{2}, T = 4\pi;$

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} 3x, T = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = 3 \cos 4x, T = \frac{\pi}{2};$

г) $f(x) = \operatorname{ctg} \frac{x}{3}, T = 3\pi.$

а) Чтобы доказать, что число $T$ является периодом функции $f(x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции $f(x) = \sin \frac{x}{2}$ и периода $T = 4\pi$ проверим это условие. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f(x+T) = f(x+4\pi) = \sin\frac{x+4\pi}{2} = \sin(\frac{x}{2} + \frac{4\pi}{2}) = \sin(\frac{x}{2} + 2\pi)$.
Поскольку функция синус имеет основной период $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$ для любого $\alpha$.
Следовательно, $\sin(\frac{x}{2} + 2\pi) = \sin\frac{x}{2} = f(x)$.
Равенство $f(x+4\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=4\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=4\pi$ является периодом функции.

б) Для функции $f(x) = 2 \tg 3x$ и периода $T = \frac{\pi}{3}$ проверим условие $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции задается условием $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{3}) = 2 \tg(3(x+\frac{\pi}{3})) = 2 \tg(3x + 3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \tg(3x + \pi)$.
Поскольку функция тангенс имеет основной период $\pi$, то $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения.
Следовательно, $2 \tg(3x + \pi) = 2 \tg 3x = f(x)$.
Равенство $f(x+\frac{\pi}{3}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{3}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=\frac{\pi}{3}$ является периодом функции.

в) Для функции $f(x) = 3 \cos 4x$ и периода $T = \frac{\pi}{2}$ проверим условие $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f(x+T) = f(x+\frac{\pi}{2}) = 3 \cos(4(x+\frac{\pi}{2})) = 3 \cos(4x + 4 \cdot \frac{\pi}{2}) = 3 \cos(4x + 2\pi)$.
Поскольку функция косинус имеет основной период $2\pi$, то $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$.
Следовательно, $3 \cos(4x + 2\pi) = 3 \cos 4x = f(x)$.
Равенство $f(x+\frac{\pi}{2}) = f(x)$ выполняется, значит, $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=\frac{\pi}{2}$ является периодом функции.

г) Для функции $f(x) = \ctg \frac{x}{3}$ и периода $T = 3\pi$ проверим условие $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции задается условием $\frac{x}{3} \neq \pi k$, где $k \in Z$.
$f(x+T) = f(x+3\pi) = \ctg(\frac{x+3\pi}{3}) = \ctg(\frac{x}{3} + \frac{3\pi}{3}) = \ctg(\frac{x}{3} + \pi)$.
Поскольку функция котангенс имеет основной период $\pi$, то $\ctg(\alpha + \pi) = \ctg(\alpha)$ для любого $\alpha$ из области определения.
Следовательно, $\ctg(\frac{x}{3} + \pi) = \ctg \frac{x}{3} = f(x)$.
Равенство $f(x+3\pi) = f(x)$ выполняется, значит, $T=3\pi$ является периодом функции.
Ответ: Доказано, что $T=3\pi$ является периодом функции.

63. Докажите, что функция $f$ является периодической:

а) $f(x) = 2 - \cos x$;

б) $f(x) = \text{tg } 2x$;

в) $f(x) = \sin x + \cos x$;

г) $f(x) = 3 + \sin^2 x$.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2 - \cos x$ является периодической, необходимо найти такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Область определения данной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $g(x) = \cos x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ для любого $x$. Проверим, является ли $T = 2\pi$ периодом для функции $f(x)$.

$f(x + 2\pi) = 2 - \cos(x + 2\pi)$.

Используя периодичность косинуса, получаем:

$f(x + 2\pi) = 2 - \cos x = f(x)$.

Так как равенство $f(x + 2\pi) = f(x)$ выполняется для любого $x$, функция $f(x)$ является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T=2\pi$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \text{tg } 2x$.

Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Известно, что функция $g(u) = \text{tg } u$ является периодической с основным периодом $T_g = \pi$. Период функции вида $y = h(kx)$ находится по формуле $T = \frac{T_h}{|k|}$, где $T_h$ — период функции $h$. Для функции $f(x) = \text{tg } 2x$ имеем $k=2$, следовательно, ее период равен $T = \frac{\pi}{2}$.

Проверим по определению:

$f(x + \frac{\pi}{2}) = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{2})) = \text{tg}(2x + \pi)$.

Так как тангенс имеет период $\pi$, то $\text{tg}(2x + \pi) = \text{tg}(2x) = f(x)$.

Равенство выполняется для всех $x$ из области определения, значит, функция является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T = \frac{\pi}{2}$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x + \cos x$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Функция является суммой двух периодических функций: $g(x) = \sin x$ с периодом $T_1 = 2\pi$ и $h(x) = \cos x$ с периодом $T_2 = 2\pi$. Период суммы функций с одинаковым периодом равен этому же периоду. Таким образом, предполагаемый период функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

Проверим это по определению:

$f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \cos(x + 2\pi)$.

Используя свойства периодичности синуса и косинуса, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, получаем:

$f(x + 2\pi) = \sin x + \cos x = f(x)$.

Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, функция является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T = 2\pi$.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \sin^2 x$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Для доказательства периодичности можно проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ напрямую, либо преобразовать функцию. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$f(x) = 3 + \frac{1 - \cos(2x)}{2} = 3 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{7}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Функция $g(x) = \cos(2x)$ имеет период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Умножение на константу и сложение с константой не меняют период, поэтому период функции $f(x)$ также равен $\pi$.

Проверим это, используя исходную формулу и $T = \pi$:

$f(x + \pi) = 3 + \sin^2(x + \pi)$.

По формуле приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$. Тогда:

$f(x + \pi) = 3 + (-\sin x)^2 = 3 + \sin^2 x = f(x)$.

Равенство выполняется для всех $x$, следовательно, функция является периодической.

Ответ: Функция является периодической с периодом $T = \pi$.

Найдите наименьший положительный период каждой из функций (64—65).

64. а) $y = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{4};$

б) $y = 3 \operatorname{tg} 1,5x;$

в) $y = 4 \cos 2x;$

г) $y = 5 \operatorname{tg} \frac{x}{3}.$

а) Наименьший положительный период функции вида $y = A \sin(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данной функции $y = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{4}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{4}$.
Подставим значение $k$ в формулу:
$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{4}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$.
Ответ: $8\pi$.

б) Наименьший положительный период функции вида $y = A \tg(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данной функции $y = 3 \tg 1,5x$ коэффициент при $x$ равен $k = 1,5$.
Представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.
Подставим значение $k$ в формулу:
$T = \frac{\pi}{|1,5|} = \frac{\pi}{\frac{3}{2}} = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в) Наименьший положительный период функции вида $y = A \cos(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данной функции $y = 4 \cos 2x$ коэффициент при $x$ равен $k = 2$.
Подставим значение $k$ в формулу:
$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Наименьший положительный период функции вида $y = A \tg(kx + b)$ находится по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данной функции $y = 5 \tg \frac{x}{3}$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.
Подставим значение $k$ в формулу:
$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = \pi \cdot 3 = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$.

65.- а) $y = \sin x \cos x$; б) $y = \sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x$;

В) $y = \sin^2 x - \cos^2 x$; г) $y = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x.$

a) б) в) г) Рис. 38

Для решения данной задачи необходимо сначала упростить тригонометрические выражения для каждой функции, а затем сопоставить их свойства (четность, значение в нуле, общий вид) с представленными графиками. В исходном условии, по-видимому, содержатся опечатки, так как прямое сопоставление невозможно. Решение будет основано на исправлении наиболее вероятных опечаток и логическом сопоставлении.

а) $y = \sin x \cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$.
$y = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
Это нечетная функция, так как $y(-x) = \frac{1}{2}\sin(2(-x)) = -\frac{1}{2}\sin(2x) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x=0$, $y=0$.
Из представленных графиков только график в) является нечетным. Однако, у нас есть две нечетные функции (а) и (г)). График а) является четной функцией ($y(-x)=y(x)$), так как он симметричен относительно оси OY. Прямого соответствия нет.
Чтобы найти соответствие, предположим, что для функции (а) на графике изображен ее модуль: $y = |\frac{1}{2} \sin(2x)|$. Эта функция является четной и $y(0)=0$. Этим свойствам удовлетворяет график а). Форма графика в виде буквы V является линейной аппроксимацией формы функции $|\sin(kx)|$ вблизи нуля.
Следовательно, функция (а) соответствует графику а).

Ответ: График а).

б) $y = \sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x$

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
$y = -(\cos x \cos 4x - \sin x \sin 4x) = -\cos(x+4x) = -\cos(5x)$.
Это четная функция, так как $y(-x) = -\cos(5(-x)) = -\cos(5x) = y(x)$.
При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$.
Ни один из четных графиков (а, б, г) не имеет отрицательного значения в точке $x=0$. Предположим, в формуле допущена опечатка со знаком, и правильная функция: $y = \cos x \cos 4x - \sin x \sin 4x = \cos(x-4x) = \cos(-3x) = \cos(3x)$ или $y = \cos(4x-x) = \cos(3x)$. Или же $y=-(\sin x \sin 4x - \cos x \cos 4x) = \cos(5x)$. В обоих случаях ($y=\cos(3x)$ или $y=\cos(5x)$) при $x=0$ значение функции равно 1.
Рассмотрим функцию $y=\cos(5x)$. Ее график — косинусоида. График г) представляет собой треугольную волну, которая является кусочно-линейной аппроксимацией косинусоиды. Обе функции четные и имеют максимум в $x=0$.
Таким образом, функция (б) (с исправленным знаком) соответствует графику г).

Ответ: График г).

в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.
Это четная функция. При $x=0$, $y = -\cos(0) = -1$.
Как и в случае (б), мы сталкиваемся с несоответствием знака. Предположим, что и здесь имеется опечатка, и правильная функция $y = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$.
Функция $y=\cos(2x)$ — четная, при $x=0$ ее значение равно 1. Ее график — гладкая кривая (косинусоида).
График б) является четной функцией, имеет максимум в $x=0$ и представляет собой гладкую кривую, похожую на арку косинусоиды. Этот график идеально соответствует функции $y=\cos(2x)$ на отрезке $[-\pi/4, \pi/4]$ (если предположить, что $T/2 = \pi/4$).
Следовательно, функция (в) (с исправленным знаком) соответствует графику б).

Ответ: График б).

г) $y = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
$y = \sin(3x+x) = \sin(4x)$.
Это нечетная функция, так как $y(-x) = \sin(4(-x)) = -\sin(4x) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x=0$, $y=0$.
Единственный нечетный график — это график в). Он проходит через начало координат и симметричен относительно него. Форма графика также соответствует синусоиде на интервале возрастания.
Следовательно, функция (г) соответствует графику в).

Ответ: График в).